GB

En représentant par x la distance du point C au point A, et par a la distance AB, on a GA = a?, GB = a — r, et l'équation du problème est la suivante :

d'où 3.r = 2a — âx,

et r = —a.

Lorsque le point est à l'extérieur, en supposant qu'il se

G A 2 trouve à droite du point B en Gi, on a la relation — !— = --.

GiB 3

En représentant de même par x la distance du point Gi au

point A, a désignant toujours la longueur AB, on a CiA = or, CiB = or — a, et Téquation du problème est la suivante :

d'où 3x = 2x — 2a,

et a? = — 2a.

Ce résultat négatif indique que le point Ci n'est pas à droite du point B, mais à gauche du point A. On peut s'en convaincre en partant de cette hypothèse pour la mise en équation du problème. Si Ci est ce point, on a la relation

-^7— = — -» dans laquelle CjA = x, et C^B = x-t-a, d'où iiiB 3

réquation

qui, résolue, donne la solution positive

De plus il est à remarquer que Téquation (3) se déduit de réquation (2] par le changement de x en — x. Il s'ensuit que Tune quelconque des équations (2) et (3) contient la seconde et que, généralisée, elle donnerait les solutions des deux, c'està-dire qu'elle comprendrait les deux cas où le point C se trouverait soit à droite, soit à gauche du segment AB.

Il n'en est pas de même de l'équation (i), qui ne peut se déduire d'aucune des équations (2) et (3) par un changement de X en — x, pas plus, évidemment, que celles-ci ne peuvent se déduire de la première par la même opération.

De sorte qu'il n'y a pas pour ce problème d'équation qui convienne à tous les cas ; en d'autres termes, il est des questions où la règle de Descartes ne trouve pas son entière application.

{li V. — Discussion.

182. La discussion d'un problème consiste dans la recherche des difTérentes solutions que comporte ce problème lorsqu'on fait sur ses données toutes les hypothèses possibles.

Pour cela, après avoir obtenu les équations qui traduisent algébriquement la question, on cherche tout d'abord les relations auxquelles doivent satisfaire les données pour que les racines soient réelles : on obtient ainsi des inégalités que Ton résout par rapport à Tune des données du problème. D'autres inégalités résultent : l"" de ce que les inconnues sont assujetties par leur nature môme ou celle de la question à être positives ou négatives ; 2** de ce que les inconnues doivent être comprises entre des limites données ou imposées par renoncé même du problème ; 3^ des différentes valeurs par lesquelles on peut faire passer les données du problème, etc. ; on résout ces dernières inégalités comme les précédentes, par rapport à la même donnée, si possible.

On compare ensuite toutes les inégalités que comporte la question ; on détermine celles qui sont nécessaires et Ton y subordonne les autres. S'il se rencontre des inégalités contradictoires des nécessaires on les écarte ; on élimine de même celles qui sont des conséquences d'autres déjà exprimées ; et de l'ensemble de celles qui restent on déduit les limites à assigner aux données pour la possibilité de la question.

Il arrive parfois que les solutions des équations du problème ne sont pas toutes des solutions de ce problème : il faut alors écarter celles qui ne conviennent pas et chercher, quand on le peut, les causes d'introduction de ces solutions étrangères. Ënûn, il est nécessaire d'interpréter autant qu'il est possible toutes les solutions qui se présentent sous une forme qui peut paraître tout d'abord inacceptable : négative, infinie, indéterminée, etc., pour retenir celles qui ont un sens et rejeter les autres, en en cherchant, s'il se peut, l'origine.

Il est généralement avantageux^ pour des raisons d'ordre, de netteté, de précision et de simplicité, de condenser dans un tableau les divers éléments ainsi que les résultats d'une discussion lorsqu'elle présente des longueurs ou des complications.

Les quelques exemples qui suivent vont éclairer ces diverses considérations.

183. I. Pariagpr un nombre a en deux parties telles que la %<mme des quotients obtenus en divisant l'une par m et Vautre par n soit égale à b, tous ces nombres étant des nombres arithmétiques.

Soit X Tune de ces parties ; l'autre sera a — ar, et Ton aura pour équation

bmn^

nx -+- arn —

mx •'

ou ou bien

(i) [n — wi)x = 7)i(6n — a).

Discussion. -» 1® n — m:^Q. L'équation (1) donne toujours

une valeur pour x,

m{bn — a)

et une valeur pour la seconde partie du nombre a qui est

n{a-'bm)

Comme il s'agit ici de nombres positifs, pour que le problème soit possible, il faut de plus que les deux termes de chacune des expressions précédentes soient de même signe ; par suite^ que Ton ait en même temps

(2) n>.w, bn^n et a^bm^

ou bien

(3) n<im^ bn<Ca et çi<Cbm.

En divisant les deux membres des deux dernières inégalités

du groupe (2) par 6, ce groupe devient

et se réduit à

En opérant de la même manière sur le groupe (3), on le ramène au suivant :

Le rapprochement des inégalités (4) et (5) de la relation n — «9^0 montre que les conditions pour que le problème

soit possible sont que m et n doivent être différents et que le

a quotient -j- soit compris entre ces deux nombres.

2<» m — n = 0. Les deux nombres m et n sont alors

égaux et l'équation du problème, prise sous sa forme

(n — vi)x = m[bn — a), devient

Oxa? = m(6m — a).

11 n'y a pas de solution et le problème est impossible si

bm — a ;zi 0 ; mais si Ton a

bvi — a =: 0,

ou 6 = ;

m toutes les valeurs attribuées à x vérifient l'équation, et le problème est indéterminé, c'est-à-dire que le nombre a, peut être divisé d'une infinité de manières en deux parties telles que la somme des quotients de chacune d'elles par m soit égale à 6. C'est ce qui ressort évidemment des deux relations m — ?i = 0

et 6 = — > car quelles que soient les deux parties « et p

dont la réunion égale a, la somme de leurs quotients parles

nombres égaux m et w, 1 ou sera toujours

égale à — » par suite à h,

184. II. Deux mobiles se déplacent d'un mouvement uniforme sur une même droite^ avec des vitesses v et v' ; on sait de plus que le premier passe en un point A en niême temps que le second passe en un point A'. Diaprés cela, trouver le point de la droite où ces deux mobiles se rencontrent.

Soit 0 Torigine des espaces {fig. 43).