A Aï m

?ig. 13.

Représentons par a et a' les distances respectives k cette origine des points A et A', et supposons que ces points sont situés dans cet ordre à la droite du point 0. Imaginons de

plus qae les deux mobiles se déplacent dans le sens A A' et que la vitesse v de celui que Ton considère en A est plus grande que la vitesse v' de celui qui se trouve au même instant en A'. Cela posé, il est évident que les deux mobiles se rencontreront en un point M situé aussi à droite du point 0 et an delà du point A. Désignons par x la distance OM. En écrivant que le temps employé par le mobile qui est en

X — a A pour se rendre en M, (quotient de l'espace par-

coaru total par l'espace parcouru dans Tunité de temps), est égal au temps employé par le mobile qui est en A' pour aller

en M, — ; — 1 on aura l'équation

(1) (v — v')x = va! — v'a .

Cette équation est générale et comprend tous les cas que peut présenter le problème lorsqu'on fait sur la position des points A et A' ainsi que sur le rapport et le sens des vitesses v et v' toutes les hypothèses possibles, en même temps que les conventions connues relatives aux signes : c'est ce qui va résulter d'ailleurs de la discussion suivante.

Discussion. — 1* v — v' est digèrent de zéro. L'équation (I) donne toujours une valeur pour a?.

va' — v'a

a). Si l'on a t? > v\ le signe de x est celui de va' — v'a. Or, lorsque va' > v'a, x est positif et la rencontre a lieu à droite du point 0, et lorsque va' < u'a, x est négatif et la rencontre a lieu à gauche du point 0.

à). Si l'on a v<Cv', le signe de x est le contraire de celui de va' — v'a. Or, lorsque va' > v'a, x est négatif et la rencontre a lieu à gauche du point 0, et lorsque va'<iv'a^ x est positif et la rencontre a lieu à droite du point 0.

c). Si Ton a seulement v :^ v\ lorsque ro' — tZ/i = 0, x est nul et la rencontre se fait au point 0.

2° V — t?' est nul. L'équation (i) se réduit à

Oxar = va! — v'a.

a). Si Ton a va' ^ v'a, cette équation n'admet pas de racine finie et le problème est impossible ; il n'y a pas de rencontre.

C'est le cas où les deux points A et A' sont distincts et où les deux mobiles se déplacent dans le même sens avec la même vitesse : ils ne peuvent évidemment pas se rencontrer.

6). Si l'on a va! = v'a^ l'équation (1) prend la forme

Oxa? = 0.

Elle se trouve ainsi vérifiée pour toute valeur attribuée à ./-, et le problème est indéterminé : la rencontre est permanente.

C'est le cas où les deux points A et A' se confondent et où les deux mobiles se déplacent dans le môme sens avec la même vitesse : ils ne se séparent paâ.

185. m. Partager un nombre arithmétique a en deux parties telles que le quotient de la somme de leurs cubes divisée par la somme de leurs causés soit égal à b.

Soit X l'une de ces parties ; l'autre sera a — x, et le problème aura pour équation

Si l'on chasse le dénominateur, qu'on développe les puissances indiquées pour transposer ensuite tous les termes dans le premier membre, cette équation, toutes simplifications et réductions faites, prend la forme

Discussion. — Pour que cette dernière équation ait ses racines réelles, il faut que son discrimina,nt soit supérieur ou égal à zéro, c'est-à-dire que Ton ait

a\3a — 26)2 4^2(3^ 2^)(a — 6) > 0. ou a2(3« — 26)(26 — «) > 0.

Cette relation est satisfaite si l'on a à la fois

3a>26 et 26>a

ou 3a<26 et 26 < a,

ou bien 3a = 26, ce qui revient à 6 = -— «,

ou enfin 26 = a, ce qui revient à 6 = — •

!• Les relations 3a > 26 et 26 > a reviennent à

e est-à-dire que 6 doit être compris entre ~a et -—• D«ns

ce cas, les racines de Téquation sont réelles et données par

l'expression

a(3a — 26) ziz a yl[U — 'tb){tb — a)

Et ces deux racines représentent les deux parties du nombre (i qui satisfont aux conditions du problème.

Hais ces deux parties ne sont positives, c'est-à-dire additives,

que si aux conditions précédentes s'ajoute celle de 6 <[ a ;

, , - -, , , . a^la — 6) j c est ce qui résulte de 1 examen du produit -j- des

deux racines, qui ne peut être positif comme le nombre a qu'autant que 6 est inférieur à a, puisqu'on a déjà 26<;3a.

Quand on a b^ a, les deux parties sont soustractives, c'est-à-dire que l'une est positive et l'autre négative ; en d'autres termes, le problème est impossible si Ton ne considère que des nombres positifs.

Quand on a b "= a^ Tune des parties est nulle et l'autre est égale au nombre donné a.

i* Les relations 3a < 26 et 26 < a sont incompatibles si Ton ne considère que des nombres positifs. Dans le cas

~rr

contraire, les racines de Téquation (i) répondent encore à la question.

3"" Lorsque la relation 3cf = ^h est satisfaite, le problème

est impossible, parce que le produit -^ ^ des deux

racines devient infini ; on peut encore donner pour raison que réquation (1) prend la forme Oxx' — OXar-h a*(a — ô) = 0 sous laquelle Timpossibilité est évidente. 4*^ Lorsque la relation ^b = a est satisfaite, les deux

racines sont égales et ont pour valeur commune --- •

186. IV. Deux lumières d'intensités différentes i et i' sont distantes l'une de l'autre d'une longueur d. A quelle distance de la première^ sur la droite qui les jointe faut-il placer un ecrati pour qu'il soit également éclairé par les deux lumières ?

Soit X la distance cherchée ; celle de la seconde lumière à récran sera d — x. L'éclairement d'une source lumineuse variant en raison inverse du carré de la distance qui la sépare

de la surface éclairée, on aura ici, pour les deux éclairements,

i i' les expressions — et -i -^ qui doivent être égales d'après

l'énoncé de la question.

L'équation du problème est donc la suivante :

x'- {d — xy qui peut se mettre sous la forme

(i ) (i — i>« — ^dix -h rf«i = 0.

Les deux racines de cette équation sont réelles, car la condition nécessaire

dH* — {i — i')dH > 0,

revient à d^ii' > 0,

•et cette dernière relation est évidente. De l'équation, on tire alors

d'où

Diicumon. — 1* On a i > i'. Les deux valeurs de ar, tontes deux positives, sont acceptables : la plus petite, x\ donne un point situé entre les deux lumières, et la plus grande, y, donne un second point situé en dehors des deux lumières, au delà de celle d'intensité i',

2* On a t < i'. Les deux valeurs de x sont encore acceptables : la plus petite en valeur absolue, a/, qui est positive, donne comme précédemment un point situé entre les deux lumières, et la plus grande en valeur absolue, x", qui est négative, donne un second point situé en dehors dçs deux lumières en deçà de celle d'intensité t.

3* On a i = i'. L'équation (i) se réduit à la suivante :

— Uix + dH = 0, d'où l'on tire a? = — - •

Dans ce cas, il n*y a qu'un point, le milieu de la distance qui sépare les deux lumières.

Le second point a été rejeté à l'infini : c'est ce que l'on peut déduire de la formule (2) pour la valeur de a?'.