I. Vérifier V égalité suivante

Pour cela, nous chercherons d'abord à simplifier les dénominateurs, en multipliant les deux termes du premier rapport

^"^^^ par le nombre v/îTTl — ^2, afin d'avoir

pour nouveau dénominateur le produit de la somme de deux radicaux par leur différence, ce qui donnera pour résultat la différence des carrés de ces radicaux et par suite une notable simplification dans le dénominateur de ce premier rapport. De môme, on multipliera les deux termes du deuxième rapport

/ par le nombre v^2-+-V2 — v^3 pour la

même raison. L'égalité proposée, si elle existe, se trouve ainsi transformée en cette autre équivalente :

n/3 ou

En chassant dans cette dernière le dénominateur /3 pour

faire passer ensuite dans le second membre le terme 2v/2v(3. il vient

ou v/(2h-/3)' -h v/(2'- v/3)« = 3/ 2/3 ;

enfin, si Ton élève au carré les deux membres de cette nouyelle égalité^ on a la suivante :

(2 -H y/Sf + 2v/(2-^v^3)'(2 — /3)* -h (2 — /3j« = 54,

ou (2 4- /3)» -f- 2 -4- (2 — • 3)' = 54,

qui donne, toutes opérations et simplifications faites, Tidenlité

L'égalité proposée est ainsi vérifiée, puisque par des transformations permises^ on la ramène à une identité.

188. II. A quelle condition doivent satisfaire les coefficients

du polynôme

a'x* -f- ax^ -h bx^ -k- ex + c*

pour qu'il soit un carré parfait ?

Nous avons déjà vu (136) qu'un polynôme de ce genre n'est un carré parfait que sous la condition d'être le carré d'un trinôme dont le premier terme est la racine carrée ± ax^ du premier terme du polynôme, le troisième, la racine carrée ±c du dernier terme du polynôme, et le second, un terme de la* forme yx^ y étant un eoefficient dont la valeur et le signe sont à déterminer.

Les différentes formes que peut affecter le trinôme sont les suivantes :

(1) ax'^ -+- yj? H- c,

(2) — ax^ -\- yx — c,

(3) — ax^-hyx-^Cy

(4) -h ax^ -h yx — c.

Si l'on élève le premier trinôme au carré on obtient

[ax^ -h i/ar 4- c)* = a^x^ -\- "iayx^ -h (t/* -i- ^ac)x^ -+- tcyx -h c^

et si Ton égale deux à deux les coefficients correspondants du second membre de cette identité et du polynôme donné, on a les trois relations

(5) 2ay = a,

(6) y* -+- 2ac = 6,

(7) 2cy = c.

De la première et de la troisième on tire une même valeur

pour t/, '^^Y'

En la portant dans la seconde, il vient

. (8) -L^2ac= b.

C'est la condition cherchée.

En étudiant de la même manière le trinonie (2) on arrive exactement au même résultat.

11 n'en est pas de môme des deux autres (3) et (4). Chacun d'eux conduit à deux valeurs égales en valeur absolue mais de

signes contraires pour y, -i--r- et — —? tirées des deux

relations correspondantes à (5) et (7). En les introduisant successivement dans la relation correspondante à (6) on obtient comme condition cherchée la suivante :

(9) 1 - 2ac = b,

différente au premier abord de la relation (8) ; mais si Ton remarque que le produit ^ac dans la dernière est négatif, à cause du signe — de a ou de c suivant qu'elle résulte de la forme (3) ou de la forme (4), elle est en somme la même que la relation (8).

De toutes façons, la relation cherchée est donc bien la suivante :

-- +2ac = b,

189. III. Dét(fnniner la valeur de X pour laquelle le polymme

est le carré d'une fonction linéaire en x et y.

Une fonction linéaire d'une ou de plusieurs quantités variables «st un polynôme entier, rationnel et du premier degré par rapport à ces quantités.

La question consiste donc à chercher une expression de la forme k{ax -\- p?/)* qui soit équivalente à la précédente.

En effectuant le produit >^(j*4-î/*) et en rapprochant les termes en x^ et en if pour mettre a?*, d'une part, et y*, de- Tautre, en facteur commun, le polynôme proposé s'écrit

(a -h>)a?* H- ^bxy 4- (a -4- X)j/^

on, en mettant (a + X) en facteur commun,

On n'a pas à s'occuper du facteur numérique a + X, mais^ seulement du trinôme

a-hX ^ ^

Pour que ce trinôme soit un carré parfait, il faut et il suffit que le second terme soit le double produit, positif ou négatif» des racines carrées des deux termes extrêmes, c'est-à-dire que Ton ait

1 T-xy = zxy,

d'où dz r =.2.

rt -H A

On en tire X = zh ^ — «,

et le polynôme, suivant qu'on prend b positif ou négatif^

affecte l'une des formes

b{x -h yY

ou ^b{x — y)2.

190. IV. Trouver la toi de formation des termes du quotient de la division^ par x — a, du polynôme entier pu .9 W ordonne par rapport aux puissances décroissantes de x

En effectuant la division et en représentant les coeflicients des termes successifs du quotient par Qm-i, Qm--B» •.•9 Qo»oï^ trouve pour premier terme du quotient

pour second terme

pour troisième

pour quatrième

et ainsi de suite. Et le dernier reste se présente sous la forme

Il résulte de là :

i* que le quotienl, dont le premier terme est du (m — i]« degré, est un polynôme entier en x de même degré (m — i), ordonné suivant les puissances décroissantes de x, et dont le nombre des tecmes est m lorsqu'il est complet ;

2® que le coefllcient d'un terme quelconque du quotient s'obtient en additionnant le coefficient du terme correspondant du dividende et le produit par a du coefficient du terme précédent du quotient ;

3^ que le reste de la division s'obtient en additionnant le terme constant du dividende et le produit par a du terme constant du quotient.