V. Chercher si le polynôme

^j.n-M — (^ |- i)jf» | 1

est divisible par (x — 1)' et expnmer le quotient simplifié de ces deux expressions.

Pour que le polynôme donné soit divisible par [x — 1)', il faut qu'il soit divisible deux fois successivement par x — i.

En le mettant sous la forme

on constate qu'il est divisible par x — 1, parce que x—K divise chacune de ses parties nx^x — 1) et a?" — 1 .

Si Ton exprime le quotient du polynôme ainsi transformé par 0?— 1, on trouve immédiatement

(1) lia?" — 0?"-» — x«-* — x"-^.. — a: — i.

Si cette expression est à son tour divisible par x — 1, le polynôme proposé le sera aussi.

Or l'expression (1) est composée d^un terme positif ns^ et

KÉSOLUTION DE QUESTIONS 545

de n termes négatifs ; si Ton fait x = I, le premier terme se réduit à n et la somme des n autres à — n ; le résultat d^eusemble est donc nul, et cela prouve que la division de (1) par X — i se fait exactement. Il en résulte que le polynôme proposé est divisible par (x — 1)*.

Pour avoir le quotient de ces deux quantités, il suffit de diviser l'expression (1) par x — i ; on trouve

noî*-» -h (n — l)ar«-2 -H (n — 2)x'»-=^ -j- ... + 3ar« -h2x h-1.

192. VI . Déterminer p et q par la condition que le trinôme x*-4-px* -4- q soit divisible par x* n- 2a:-i- 5, et exprimer le quotient correspondant.

Le quotient des deux trinômes donnés sera de la forme II" -h Pa? H- y.

En effectuant la division jusqu'au moment où le quotient

comprend ses trois termes, qui sont respectivement du

deuxième degré, du premier et du degré zéro, on obtient pour

resle

Or, pour que la division soit exacte, il faut que ce resle soit égal à zéro, c'est-à-dire que le terme du premier degré et le terme constant soient séparément nuls, ce qui donne

et — 5/j -4- 7 -t- 5 = 0,

d'où Ton tire p = 6 et ç = 25.

Le trinôme dividende s'écrit donc

Quant au quotient, il se présente, avec ses trois termes,

sous la forme

x*— 2jH-(p — 1);

en y remplaçant p par sa valeur 6, il devient

Autre méthode, — On peut encore raisonner de la manière suivante. Le quotient cherché devant affecter la forme «ap* H- p* -4- Y, il s'ensuit que Ton doit avoir

UAUZAT. — «iTBODOL. 35

(x* 4- 2a? -H 5)(aar« H- pa? -h y) = x^-hpx* + q, ou «r♦-h(2«4-p)ar3-^(5a-^2p-+-Y)x«+(5p4-2Y)a? + 5Y

en identifiant les coefficients des termes de même degré pris dans les deux membres de la relation, on a

(3) 5a-H2p + Y = iO,

soit cinq relations entre les cinq inconnues a^ p, y, p et q.

On en tire successivement, la valeur de a étant déjà donnée par la première,

Le trinôme dividende et le quotient prennent donc les formes respectives déjà trouvées,

et x> — 2a?-+-5.