I. Du système (Téguations

X = by-hci -hrfK, y = aX'\-cZ'^ du, z =^ ax-h by -h du y u = ax-^-by -^cZy déduire la relation

a-hl ÔH-i c-f-i

Si l'on retranche membre à membre les deux premières équations, la seconde de la première, on a

d'où l'on tire

On obtient, de la même manière,

a-hl

rf-h 1

Si Ton ajoute aux deux membres de la première des équations proposées le terme ax, il vient

(a H- i)x = ax -^ by -\- cz -\- du

et si, dans celte relation, on remplace t/, z et u par leurs valeurs ci-dessus exprimées en fonction de Xy on obtient

.a-hl a + l .0-+-*

En divisant, maintenant, tous les termes de cette équation

par X et par a + i, on a la relation demandée,

a-hi 6-^^ c-hl d-hi

§ III. -- Problèmes du premier degré

301. I. Trouver trois nombres qui surpassent également les nombres donnés a,' é, c et qui forment entre ev^ une proportion continue.

Soit X la quantité dont les trois nbmbres cherchés surpassent respectivement les nombres donnés a, 6, c. Ces trois nombres à trouver ont dès lors pour expression

a-t-j?, • b-hx et C-+-X

et forment la proportion continue

a-hx b-hx

— ac

d'où Ton tire

Discussion, — Pour que le problème, tel qu'il est énoncé, soit possible, il faut et il suffit que x soit un nombre uni et positif, et cette double condition est remplie si Ton a à la fois

b*>ac et a-hc'^'lb

ou b^<iac et a-vc<C26.

Des deux premières relations, on tire

a 4- c , , — —;^>b>y/ac,

et des deux dernières

—g — <b<\/ac.

Ce qui revient à dire que la possibilité du problème tient à ce fait nécessaire et suffisant que le nombre b soit compris entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des deux autres.