Un poids p d'un alliage de deux métaux subit dans

reau une perte de poids a, et ron sait qu'un même poids p de chacun des métaux composants subit dans les mêmes circonstances, pour Vun une perte de poids ô, et pour Vautre^ une perte de poids c. Diaprés cela chercher la composition de l'alliage proposé. Soit X le poids de ce qu'il entre du premier métal dans un poids p de TalUage en question ; p — x sera le poids du second métal composant. En exprimant que la somme des perteé de poids subies dans Teau par les deux métaux constituants est égale à la perte de pSids de Talliage, on aura

bx c(p — x)

et cette relation sera l'équation du problème, qui se transforme en

Deux cas principaux se présentent ici, suivant que l'on a 6 — c^fiO ou b — c = 0.

4° b — c ^f: 0. L'équation (1) donne

b-c mais cette valeur de x n'est acceptable qu'autant qu'elle est positive et plus petite que p, autrement dit, si Ton a à la fois,

ou 6— c>0, a — c>0 et Z' "^ <p,

c'est-à-dire b — c>0, a — c>0 et a<ib^ ce qui revient à b^a^c;

ou /> — c<0, a~c<0 et . "" ^^ <y?,

c'est-à-dire b — c<;0, a — c<<0 et a^b, ce qui revient à 6 < a < c.

Dans ce cas, le problème admet une solution et une seule.

2^ b — c = 0. L'équation (1) devient

Oxx = p[a — c).

Le problème est impossible si l'on a ^ — c ^é 0, et il est indéterminé si Ton a a — c = 0.

L'impossibilité tient à ce que deux métaux, qui, pour un

même poids p^ éprouvent dans Teau la même perte de poids 6, doivent donner dans Talliage qu'ils composent, quelle que soit la proportion pour laquelle ils y entrent, lorsqu'on prend un poids p de cet alliage^ la même perte de poids b dans Teau et non une perte différente a.

L'indétermination tient à ce que deux métaux, qui éprouvent pour an même poids p une même perte de poids h dansTeau, donnent toujours un alliage^ dans quelque proportion qu'ils y entrent, dont un poids p éprouve dans Teau une perte de poids égale aussi à b.

En résumé^ pour que le problème ait une solution et.n jen ait qu'une, il faut et il suffit que Ton ait

6>>a>c ou b<ia<Cc^

c'est-à-dire que la perte d'un certain poids d'alliage dans l'eau soit comprise entre les pertes du même poids de chacun des deux métaux constituants.

203. III. Sur une ligne droite sont rangées n pierres^ à 10 mètres de distance les unes des autres. Trouver sur cette droite un point A tel que le chemin à faire pour y transporter toutes ki pierres soit double de celui que Von ferait pour transporter ces mêmes pierres à la place occupée par la première d'entre elles. Dans les deux cas on suppose que Von part de la première pierre.

Supposons que le point A se trouve au delà de la n^ pierre, et soit X leur distance. Remarquons, ensuite, que le nombre d'intervalles de 10 mètres déterminés par les n pierres est n — 1.

Cela posé, le chemin parcouru pour transporter la première pierre en A est 10{n — i)-hx. Le chemin parcouru pour revenir de A vers la deuxième pierre et transporter cette deuxième pierre en A est 2[10(n — 2) + a]. Le trajet correspondant au retour vers la troisième pierre et au transport de cette troisième pierre en A est 2[10(n — 3) -h x]. En continuant ainsi, on trouve pour le retour de A vers chaque pierre et le transport de chacune d'elles en A, 2[10(n — 4) -+- a:], ..., 2riO + x]-h^.

De sorte que le chemin total pour effectaer tous ces transports €St égal à

10(n — 1) 4- ar -h 2[10(n — 2) + a:] -H 2[i0(n — 3) -4- a:J

-+- ...-4-2[iO-+-a:]-4-2x.

D*autre part, on trouve que le chemin total pour transporter les n pierres à la place occupée par la première a pour expression

10x2-1-20x2-4-30x2-+- . . . -hlO(n — l)x2.

Et comme d'après Ténoncé de la question le premier chemin est double de celui-ci, le problème a pour équation

10(» — 1) + jT + 2[10(n — 2) -f- jt] -h 2[10(n ^ 3) -h or] -h . . .

-h2[10-f-x]-+-2ar = 2[20-h20x24-20x3-f- ... -h20(n— 1)],

qui devient successivement

{2n — l)a: -Hi0(n — 1) -+- 20{n — 2) -h 20(n — 3) -h ... -f-20

,/, iO(n-i)(n + i)

dou x = — ^^ — - — ^-^ -'

204. IV. Deux robinets mettent l'un a heures ot l'autre b heures pour remplir un même bassin ; (Vautre part, une soupape peut vider ce bassin en c heures. Sachant qu'on ouvre à la /bi> les deux robinets et la soupape^ calculer le temps nécessaire pour vider le bassin supposé plein d'eau au moment où commencent à fonctionner les trois ouvertures, (Généralisation du problème n*» 164.)

Soit X le nombre d'heures employé par les deux robinets el

la soupape fonctionnant ensemble pour vider le bassin. Comme

en une heure le premier robinet remplit une fraction — du

bassin, en x heures il en remplit une quantité — ; on trouve

de même qu*en x heures le second robinet remplit une quantilé Y de ce même bassin, et pendant le même temps, la

soupape, qni le vide en c heures, en vide une quantité — •

Cette dernière quantité devant être égale à la somme des dea^L autres augmentée du bassin plein ou de Tunité, on a l'équation

— = Hx-^*i

qui donne abx = bcx -+- acx -h abe^

on

(1) {ab — 6c — ac)x = abc.

Discussion. — 4<> ab'^bc-hac, L*équation (1) donne une valeur positive pour x, ,

abc ab — bc — ac et le problème est possible.

2<» ab = bc-^ ac. L'équation (1) se réduit à

Ox.T = abc.

Elle n'admet pas de racine finie et le problème est impossible : le bassin ne peut pas ^tre vidé. Pour s'expliquer ce résultat, on divise par abc les deux membres de la relation ab = bc-hoc et Ton obtient cette autre :

c a b qui exprin^e que la fraction du bassin vidée en une heure par la soupape est exactement égale à la fraction remplie dans le même temps par Tensemble des deux robinets. Il en résulte donc bien que le bassin, étant plein au début des opérations et recevant à chaque instant autant d'eau qu'il lui en est enlevé, reste toujours plein et ne peut jamais se vider.

3** a6 < 6c -h ac. L'équation (1) donne pour x une valeur négative, qui indique, dans la circonstance, que le problème est impossible. On se rend compte de cette impossibilité en divisant par abc les deux membres de la relation aft < 6c -h ac,

qui devient ainsi

Sous cette forme elle exprime que la fraction du bassin vidée en une heure par la soupape est inférieure à la fraction remplie dans le môme temps par Tensemble des deux robinets.

Il en résulte donc que le bassin étant plein et recevant à chaque instant plus d'eau qu'il ne lui en est enlevé, ne peut

jamais être vidé. Mais il est à remarquer que l'excédent de —

sur h -7- s'écoule par-dessus les bords du bassin, qui ne

reste pas exactement plein comme dans le cas précédent.

Cette solution négative peut s'interpréter en changeant x en — X dans l'équation

vu w JLf .

et en remarquant ensuite que )a nouvelle équation qui en résulte

ou mieux — = — h -i — i

est la traduction d'un problème dont l'énoncé commence comme le précédent, mais se termine ainsi : Calculer le temps nécessaire pour remplir le bassin supposé vide au moment où commencent à fonctionner les trois ouvertures.

Cette interprétation montre que la valeur négative de x ne pourrait pas représenter ici un temps compté dans le passé.

205. V. Des joueurs au nombre de n conviennent qu'à la fin de chaque partie le perdant doublera l'argent de chacun des autres joueurs. Or il arrive que chacun des joueurs, après avoir perdu une partie, se retire <ivec une somme a. Quelle somme chaque joueur avail-il en entrant au jeu ? (Généralisation du problème n° 149.)

Représentons les sommes que possèdent à l'entrée enjeu

les n jouears, pris dans Tordre où ils perdent leurs parties, par X], a?!, Xj, x^^ , . ., Xn.

Après la première partie, le premier joueur possède

a?i — (a?i -f- or» -f- Xi -f- . . . 4- Xn)

et les autres 2xs, 20^3, Sar^, ..., 2xn.

Après la deuxième partie, le premier joueur possède

[ xi — (oTt -4- a?3 -+- a:* 4- ... -Hx„)] X 2, le deuxième, [3xt — (xi -+- X3 -h Xi-h . . . 4- x„)], et les suivants, 4x3, 4x4, . . . , 4xn.

Après la troisième partie, le premier joueur possède

[Xi — (X, H- X3 -h X4 + ... H-Xm)] X 2*,

le deuxième, [8x3 — (xi -f- X3 h- x* -+- ...-!- x„)] x 2, le troisième, [7x3 — (xi -h xg h- x* 4- ... -f- Xn)], et les suivants, 8x4, . . . , 8x„.

Après la quatrième partie, le premier joueur possède

[x, — (xj-hX3-i-X4-+- .. . -hx„)]x2% le deuxième, [ 8x2 — (x, -h Xg -h X4 -h . . . -f- Xn)] X 2', le troisième, [ Txj — (x, -h Xj -h X4 h- . . . -f- x„)] x 2, le quatrième, [15x4 — (x, 4- xj -h x» -h ... -h x„)], elle n^, 16xn.

Après la n« partie, le premier joueur possède

[Xi — (x, 4- X3 -h X4 -h ... -f- x„)]2"-*, le deuxième, [(2' — l)Xj — (xi -h x^ -i- x* -f- . . . -+- Xn)]2"-2, le troisième, [(2^ — 1)X3 — (xi -f- x, -h x* -h . . . -+- x„) |2'»-=\ le quatrième, [(2* — i)x4 — (xi -4- xa -+- X3 h- ... h- x„) JÎ"-*, et le n% [(2'* — l)x„— (xj -t- x, 4- X3 -f- . . . -^ x„i)\

Cela trouvé, si l'on exprime que chacune de ces sommes est égale à a, en écrivant le premier terme de l'avoir du premier

joueur sous la forme (2 — l)ar,, on obtient le système suivant de n équations à n inconnues :

[(2 — l)x, — {xt H- X3 -+- A -h ... -h ar„)]2'*-* = a, [(2« — l)x, — (ar, -h .Tî -h Xj -+- ... -h x„)|2'*-2 = o, f(2^ — i).r, — (x, -H X, -H X4 -+- ... -+- ar„)]2'*~^ = a, f(2*— l>r4 — (ar, -Ha;,-ha:8-h..iH-^„)|2''-* = a,

(2'» — l)x„ — (x, 4-X2H-ar3-l- ... H-Xn-i) = a, qui peut s'écrire

2'*ari — 2'»-*(a'j -h .rj 4- ^3 -f jr* -H ... -f- ,r„) = «, 2^X2 — 2r-^(xi + a-2 -h X3 -H X4 -4- . . . -H x„) = rt , 2'*ar3 — 2""*^(a:, -f Xj -h X3 -4- .r* -h ... -f- a-„) == f/. 2»»X4 — 2"~*(xi H- Xj -H X3 -f* X4 H- ... -h x„) = a,

â^X^ — (X| -f- iTs -h 0:3 -h X^ + . .. -h 5*n) = «.

Or, comme la somme totale possédée par les joueurs à leur entrée au jeu,

Xi -+- Xj — f- X3 -f- X4 — |- . . . — |- Xnj

est égale à celle qu'ils ont après la n« partie, c'est-à-dire à no,

on a

■J^i -H arj H- X3 -H X4 -h . . . -i- X,» = na ;

il s'ensuit que le système d'équations précédent peut s'écrire plus simplement encore

2»Xi--2'»-*wa = a,

2"X2 - 2"-2nfl = a,

2"X3 — 2"-'wa = a ,

2'*Xn — na = a.

On en tire successivement

a na

jeu a pour expression

Xi =

a na

a na

a na

Xn =

a na

njou<

sur de rang

Xy =

a na

On peut de celte formule déduire toutes les valeurs déjà trouvées, en y faisant p successivement égal à 1, 2, 3,..., n.

206. VI. Trouver deux nombres arithmétiques dont on connaît la différence a et le quotient h.

Soient x et y ces deux nombres, x étant supposé le plus grand des deux. La traduction algébrique des conditions du problème donne les deux équations simultanées suivantes :

Si de la première on tire la valeur de f/,

(1) yzrzx — a,

pour la porter dans la seconde, celle-ci devient

(2) (6 — 1) j; = ab.

Discussion. — i^ 6>i. L'équation (2) donne toujours

une valeur pour x,

ab

et Téquation (I) une valeur correspondante pour fy,

DAUZAT. — MÉTHODOL. 36

2» 6 = 1. L'équation (2) se réduit à

0 X X = a6, et ne peut être satisfaite par aucune valeur finie attribuée à x, 11 en est conséquemment de môme pour y. Le problème est donc impossible. On s'explique cette impossibilité en considérant que lorsque b est égal à 1, les deux nombres sont égaux entre eux et par suite ne peuvent pas avoir pour différence un nombre a qui n'est pas nul.

30 6 < 1. Les équations (2) et (1) donnent toujours une valeur pour x et une valeur pour y, mais ces deux valeurs sont l'une et l'autre négatives. Ce résultat s'explique par le fait que lorsque b est plus petit que l'unité, x est plus petit que y, et a, que Ton a considéré comme un nombre positif dans la mise en équation du problème, doit être au contraire un nombre négatif. Si l'on changeait, en effet, a en — a, 6 restant plus petit que l'unité, les deux valeurs de x et de y deviendraient positives.

207. VII. Sur une i^ivière dont la vitesse du courant est inconnue, deux bateaux parcourent la même distance en sens inverse. Sachant que ces deux bateaux sont conduits par k même force motrice, quils mettent respectivement, celui qui descend et celui qiti remonte la rivière, h et h' heures pour parcourir la distance donnée, on demande d'exprimer la vitesse du

courant.

Dans le mouvement d'un bateau sur une rivière, il y a deux éléments à considérer, le glissement du bateau sur l'eau et le déplacement de l'eau, qui s'ajoutent ou se retranchent suivant que le bateau descend ou remonte la rivière.

Soient x la vitesse du courant et y la vitesse de glissement due à l'action de la force motrice qui agit sur chaque bateau ; soit en outre d la distance commune parcourue .

Pour le bateau qui descend, on aura

et pour l'autre {y — -^W = d,.

d[h -h h') On en tire ?/ — — ^^^7