AA

Discussion. — La seule condition nécessaire et suffisante pour que le problème soit possible est que Ton ait h' > /«, c'est-à-dire que le temps employé par le bateau qui remonte la rivière soit supérieur au temps employé par celui qui la descend : ce qui est évident a priori,

208. VIII. Trois ouvriers \y B et C sont engagés pour faire un travail que A et B feraient ensemble en a jours, que A et C feraient ensemble en b jours et que B et C feraient en c jours» Chercher le temps qu^il faudrait à chaque ouvrier travaillant seul pour faire l'ouvrage.

Représentons par x, y et z les temps respectifs employés par ces ouvriers pour effectuer séparément le travail en question. A et B mettant ensemble a jours pour le faire, cela

revient à dire qu'en a jours ils font du travail : le premier

une fraction égale à — i le second une fraction — et que la

somme de ces deux fractions est égale à Tunité ; d'où la première équation du problème,

En raisonnant de la môme manière,

on

obtient

les

deux

autres,

Ces trois

équations peuvent être

mises sous la forme

En les additionnant membre à membre, et en divisant par 2 les deux membres de l'équation résultante, on a

1 i 1 1 il

En remplaçant dans cette dernière équation la quantité

1 par sa valeur — tirée de la dernière des équations

précédentes, on obtient

i J Jl 1^

d'où a? = —

ac-h oc — ao

On obtient de même, ou en s'appuyant sur la symétrie des

données,

2abc

ab-^ bc — ac^

^ahc

ab -h ne ^ bc

§ IV. — Équations et Inéqniations du second degré.

209. I. A quelle relation doivent satisfaire les coefficients de réquation générale du second degré à une inconnue pour que l'une des racines de celte équation soit un multiple de l'autre ?

Soient ax^ -h 6j? -h c = 0 Téquation générale du second degré à une inconnue et x et af ses deux racines.

Supposons que Ton veuille avoir x' = mx\

On aura les trois relations suivantes entre les deux racines

mx".

En remplaçant x' par sa valeur mx" dans les deux premières relations, il vient

a Et si Ton élimine x* entre ces deux dernières égalités, on a, pour relation cherchée,

mb^ — (m -+- l)*ac = 0.

210. II. Chercher les valeurs de m pour lesquelles le polynôme

ax* -h bx -^ c-^- m{x* -+- 1)

est un carré parfait.

En ordonnant ce polynôme par rapport aux puissances décroissantes de X il prend la forme

(a -h m)x^ + bx -\- c -\- m.

Ce polynôme sera un carré parfait si Téquation obtenue en régalant à zéro,

(1) (a -h m)ar* -4- 6ar -h c -h m = 0,

a ses deux racines égales.

Or, pour que cette condition soit satisfaite, il faut que le discriminant de Téquation soit nul, c'est-à-dire que Ton ait

ou, en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de m, après avoir effectué le produit indiqué.

(2) Am^ -f- 4(a -h c)w -h 4ac — 6" = 0.

On a ainsi uue équation du second degré en m dont les racines sont réelles car le discriminant est positif. Ce discriminant est, en effet,

4(a -+ c)« — 4(4ac — b*) ou 4[(a — éy -h b^]

et représente la somme de deux carrés .

L'équation (2) a donc ses racines réelles et il en résulte qu'il y a deux valeurs de m pour lesquelles le premier membre de réquation (1) et par suite le polynôme proposé devient un carré parfait.

Ces deux valeurs^ données par la résolution de l'équation (2), sont les suivantes :

^ — (a-hc)dtv/(a — c}>H-6«

Remarque. — Nous avons résolu par un autre procédé (189) une question du même genre.