m. Trouver la transformée en x* de Véquation
jc* -+- pa? -h y = 0.
Cette question consiste dans la recherche de Téquation du second degré dont les racines seront respectivement les quatrièmes puissances des racines de Téquation proposée ; en d'autres termes, si x' et x" représentent les racines de cette dernière équation, x'* et a:"* devront être les racines de Téquation à former.
Pour obtenir celte équation, il suffit de déterminer les coefficients qui doivent remplacer p et q dans la formule précédente, et comme les relations entre ces nouveaux coefficients et ces nouvelles racines restent les mêmes qu'entre les coefficients et les racines de l'équation ci-dessus, la question revient à chercher Texpression des quantités .x'* -f- x^'^ et x'*- . x"^ sachant que l'on a
x' -\- x" = — p et J^ar" = q.
De la première de ces deux identités on déduit
x'2 4- 2xV -+- .r"* = pS
et en combinant ce résultat avec Tidentité a/x" = 9, on a
De cette dernière, on obtient
x'' 4- ^xV H- ./* = p* — Ap*q 4- ^\
et en remplaçant 2.r'*x''-* par sa valeur tirée de l'identité x'x" =z q, il vient
d'autre part, on a x'V* = 9*,
d'où réquation cherchée :
212. IV. Chercher la nature des racines de l'équation ajs 2(wi -4- l)x H- âm^ — 4m -+- 1 = 0
truand m prend toutes les valeurs possibles.
La nature des racines d'une équation dépend tout d'abord du signe du discriminant, puis, quand les racines sont réelles, des signes de leur somme et de leur produit.
Ici; le discriminant, que nous représenterons par o, est
p = (m -h i)« — (2m« — 4mH- 1)
= — m{m — 6) ; la somme des racines
ZL- = 2(m+l), a
et leur produit
Les valeurs remarquables de m, c'est-à-dire celles pour lesquelles le discriminant, la somme des racines ou leur produit changent de signe, sont les suivantes :
0 et 6, pour le discriminant ;
l -h -^ et 1 — —^ pour le produit des racines ;
la valeur — 1 tirée de l'expression de la somme des racines n'est pas à retenir, attendu que cette somme est toujours positive.
En disposant Tensemble de ces valeurs remarquables dans mi ordre croissant, on a
Il suffit maintenant de faire varier m d'une manière continue
de —00 à -f-oo, et de noter ce que deviennent p, ^ —
a et — . lorsque m passe par ses valeurs remarquables et les
ALGÈBHE PRATIQUE
intervalles qu'elles forment entre elles et avec leurs limites infinies — oo et -4-x, pour déterminer la nature des racines de l'équation proposée.
Le tableau suivant résume cette discussion :
RÉSOLTATS
Les racini
BS sont imaginaires.
Les deux racines sont réeUes
et égales; ar' = x" = l.
Les deux racines sont inégales et positif es.
Une des racines change de signe en passant par zéro .
Les deux raiiines sont de signes contraires; la plus grande en Talear absolue est la raoine positive.
La racine négative change de signe en passant par séro.
Les deux racines inégales sont positives.
Les deux racines deviennent égales ; ^' = x* = 7 .
Les racioe
s sont imagi
naires.
