V. Poiu' quelles valeurs de m l'équation
(?n -h l)x* — 4>wx 4- 2m 4- 3 = 0
a^Uelle une ou deux racines supérieures à 1 ?
Tout d*abord, pour que cette équation ait ses racines réelles,
son discriminant doit être différent de zéro, c'est-à-dire qu'on
doit avoir
oa
2m« — 5m — 3 > 0, on mieux encore 2{m — 3)[ »n- — ) > 0.
Or les Taleurs de m qui satisfont à cette relation sont données par les deux conditions
0) wi>3 et
eu d'autres termes, toute valeur de m supérieure à 3 ou inférieure à — — attribuée à m fait que Téquation proposée a
deux racines réelles .
i^ Cela posé» cherchons quelles sont celles de ces valeurs de m pour lesquelles Téquation a une seule racine supérieure à i^ et représentons, pour simplifier l'écriture, par f{i) et /( qz oo } ce que devient le premier membre de l'équation donnée lorsqu'on y remplace x par i et par q. oo.
Le nombre 1 séparant les deux racines, /*(!) et /"(zpoo) sont de signes contraires. Or /( ip x> ) est du signe dé w h- 1 : on doit donc avoir
(îlH-i)Ai)<0,
ou, comme on a f{i) = — m -h 4,
(m + l)(m — 4) > 0, d'où la double condition
(2) . m < — 1 et m > 4.
En rapprochant les conditions (2) de (i), on remarque que les premières sont toujours satisfaites lorsque les secondes 1 e sont. D'où cette première conclusion :
Pour toute valeur de m inférieure à — 1 ou supérieure à 4 Téquation proposée a toujours une racine, et une seule, supérieure à i .
2* Déterminons maintenant les valeurs de m pour lesquelles Téquation donnée a ses deux racines supérieures à i.
Les deux racines étant en dehors du nombre 1, f[i) et /{ip » ) sont de môme signe, c'est à-dire qu'on a
(m-f-l)Al)>0, ou (m H- 1 )(m — 4X 0,
ri
d'où la double condition
D'autre part, si ces deux racines sont supérieures à 1 , leur demi-somme est supérieure à 1 , ce qui donne
in-hl
2m ou -— i>0,
ou, plus simplement.
d'où la double condition (4) m > i et w < — 1.
Le rapprochement des relations (1), (3) et (4), desquelles
dépend la réalisation de la seconde partie du problème, montre
qu'il n'y a pas de valeur inférieure à — — qui réponde à
la question et que parmi les valeurs supérieures à 3 il n'y a que celles qui satisfont à la double condition
3<w<4; en d'autres termes, l'équation proposée n'a ses deux racines supérieures à 1 que pour les seules valeurs de m comprises entre 3 et 4.
On peut résoudre cette question de la manière suivante : noter les valeurs remarquables de m, c'est-à-dire celles pour lesquelles il y a changement de signe dans le discriminant ou le premier membre de l'équation lorsqu'on y a remplacé -^ successivement par — oo , 1 et -4- c» ; faire varier 771 d'une manière continue de — x> à -+- 00 , et déterminer la nature, le signe et la position des racines de l'équation par les signes que prennent, dans les intervalles des valeurs remarquables de m et de leurs limites — 00 et -h 00 , le discriminant et les trois formes précédentes du premier membre de l'équation. Nous représenterons ce discriminant et ces trois formes par les notations respectives p, f{ — 00 ), /(l) et /*( -h oc ).
Pour le discriminant, on a
/( — 00 ) et f{-\- 00 ) prennent le signe de m -+- i ; et Ton a
/Kl) = — m H- 4.
Les valeurs remarquables de m sont donc, pour le discrimi-
nant, 3 et — 3-; pour /([qp»), —1, et pour /(i), 4.
En disposant ces valeurs dans leur ordre croissant, elles donnent Tensemble
Le tableau suivant résume cette discussion :
n-^oo)
