RÉSULTATS

Les deax raciDes sont réelles :

i La plus grande racine change de signe en passant par l'infini ; I*autre est négatife.

La somme

Am

des racines

m-hi étant négative et leur produit

1 positif, les deux racines

m-hi

sont négatives.

1 Deux racines égales ' négatives \x' = x" = — 2<i.

Racines imaginaires.

Denx racines égales positives

La demi-somme des raci ues

étant supérieure k { dans cet intervalle, les deux racines le sont aussi

Deux racines inégales x' = i ,

Deux racines inégales x' < 1, x">i.

Les expressions /1[— co), f{i) et f (-hœ) ayant le même

signe pour les intervalles ( — 1, — -—) et (3, 4), les deux ra

cines sont toutes deux comprises entre — oo et 1 ou entn i et + (30 , car s'il en était autrement 1 séparerait les deui racines eif\i) serait d'un signe contraire à celui des expressions /*(— 00 ) et /( + 00 ) qui est le même. Dans ce cas, oi a recours à la somme et au besoin au produit des racines.

Pour Tinlervalle ( — I, — "S") ^* somme des racines étani

négative et le produit positif, les deux racines sont négatives^ par conséquent inférieures l'une et Tautre à 1.

Pour rintervalle (3, 4) la demi-somme des racines étanI supérieure ai, les deux racines le sont aussi, en raison de en qui précède.

De ce tableau il ressort clairement aussi que Téquation proposée a :

!• une racine et une seule supérieure à 1, pour toute valeur de m qui satisfait aux relations

2® ses deux racines supérieures à i lorsqu'on a

On peut ajouter qu'elle a une ou deux racines supérieures à 1 pour toutes les valeurs fournies par les relations

214. VI. Chercher les valeurs de x pour lesquelles l'inégalilé 4a:* — 5x — 1 ^ . ^ .

Si Ton fait passer le terme du second membre dans le premier pour réduire ensuite tous les termes au même dénominateur, on a rinégalité équivalente

2ar«- 5x-h3 -^^ ' qui revient à

Le numérateur est égal au produit (x -h v^l)(ar — /2);

et

quant au dénominateur^ c'est un trinôme du second degré

dont le discriminant 5* — 4x2x3 est positif et dont les

racines sont par conséquent réelles et égales, Tune à Taulre à 1 ; il peut dès lors s'écrire

L'inéqnation (1) peut donc se mettre sous la forme

2(ar-|)(a?~4)

En cherchant le signe que prend chacun des facteurs

jr-h^2, X — \/2, X — —, X — 1 lorsqu'on fait passer

X par toutes les valeurs comprises entre — oo et -h », on détermine le signe que prend la fonction qui forme le premier membre de l'inéquation. Les intervalles à considérer sont déterminés par les valeurs remarquables de x, celles qui font changer de signe aux facteurs précédents. Ces valeurs disposées par ordre de grandeur croissante sont :

— yft, i, v/2, -^•

Le tableau suivant, dans lequel le premier membre de l'inéquation est représenté par f{x), résume celte recherche.

->fï

11 ressort de l'examen de ce tableau que l'inégalité proposée

est satisfaite exclusivemeDt pour toutes les valeurs de s i** inférieures à — v'f ; 2« comprises entre 1 et /5; 3* s

périeures à —-.