VII. Dans l'inéquation
où A est une quantité donnée^ quelle valeur faut-il attribuer à k pour que cette inéquation soit satisfaite par toutes les valeurs positives et négatives de x?
Le dénominateur du premier membre de Tinéquation est ua trinôme du second degré dont les racines sont imaginaires ; ce trinôme est donc toujours positif quelles que soient les valeurs de ar : il s'ensuit qu*en multipliant les deux membres de rinéquation par ce dénominateur, on obtient une inéquation de même sens, qui se ramène après simplification à
la suivante :
Les conditions pour que cette dernière inéquation soit satisfaite sont : lo que le coefficient {h -h i — A*) de x* soit positif ; S"" que le discriminant de Téquation obtenue en égalant à zéro le premier membre de Tinéquation soit négatif, c'est-à-dire que les racines de cette équation soient imaginaires; en d'autres termes que Ton ait
et {h — A-)« — 4(/t -+- 1 — A-)(7* — k) <0.
De la première de ce^ relations on tire
(i) k<h-hi.
La seconde se met sous la forme
et peut être satisfaite si Ton a à la fois
/i - A > 0 et 3A -^ 4 — U > 0
ou bien // — A < 0 et 3/i -t- 4 — 3A <0.
KÉSOLUTION DE QUESTIONS S75
La seconde de ces deux hypothèses est incompatible avec
la relation (i) et doit être re jetée.
De la première on tire
et A < /i -4- 4" •
En rapprochant ces conditions de celles qu'exprime la relation (I), on voit qu^elles sont toutes les trois satisfaites lorsqu'on a k<ih.
L'inéquation proposée aura donc lieu pour toutes les valeurs de k inférieures à /i, quelles que soient les valeurs attribuées à X.
Si k est égal à h^ Tinéquation n'est satisfaite qu*autant qu e X n'est pas nul. Pour x = 0, les deux membres de Tinéquation deviennent identiques.
216. VIII. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles les quatre racines de V équation bicarrée
X* — (3m 4- 5)ar« + (m -+- 1)* = 0
sont en progression arithmétique.
Si nous représentons par a/ et x" les deux racines positives de l'équation, les deux racines négatives auront pour expressions — a/ et — a?" ; et si nous admettons x" >- ./•', on aura la relation
comme on aura aussi la suivante :
qui revient à la première.
De Tune d'elles quelconque on déduit
(1) x" = 3af.
On a, d'autre part,
el x'^x"^ = (m -H i)*.
Si dans ces deux dernières relations, on remplace x' par sa valeur Sx' prise dans (1), il vient
(2) iOar'« = 3m -f- 5
et (3) 9^* = (m-hl)«.
En élevant les deux membres de (2) au carré et divisant membre à membre la relation résultante par (3), on obtient réquation du second degré en m
d'où Ton tire m' = —-
et m" = 5.
En donnant à m la valeur 5, on déduit successivement de
(2) et de (1)
ar' = v^2 et x" = 3/2 ,
et en donnant à m la valeur — — » on a
slt><W 3v/â><î9 •" Î9 ^ ^ Î9
Dans le premier cas, les quatre nombres de la progression arithmétique sont, par ordre décroissant,
Sv'î, v^, — v^2, — 3v^2,
et la raison est 2/2 ;
dans le second cas, les quatre no mbres sont
3v^2xi9 V^2xi9 v^2xl9 3v^2Xi9
2v/2xl9 avec ^ pour raison.
217. IX. A quelle relation doivent satisfaire les coefficients de deux équations générales du second degré à une inconnue pour que ces deux équations aient une racine commune ?
Soient ax^ 4- 6ar -h c = 0,
les deux équations générales du second degré à une inconnue, x' et x" les racines de la première, x'^ et x" les racines de la seconde.
Supposons que Ton veuille avoir
On aura les cinq relations suivantes entre les racines et les coefQcients des deux équations proposées :
ar'
"a' or;.
or'
Si Ton remplace x\ dans la seconde et la quatrième de ces relations par sa valeur or' tirée de la cinquième, on aura
En retranchant membre à membre, dans ce dernier groupe de relations, la seconde de la première et en divisant membre à membre la troisième par la quatrième, il vient
ab' — ba'
aa'
Ces deux relations jointes à la première et à la troisième du groupe (2) forment le groupe suivant équivalent au précédent:
DAUZAT. — MiTHODOL.
/ x' -hxf = »
