XX

x* — arr =

aV — ba!

aa!

1 x^ ^ ca'

\ xi ac

Des deux dernières de ces relations, par réliminalion de

xj, on lire

c aft' — ba!

a ac — ca

Cette valeur de x" portée dans la première relation de (3) donne après simplification

bd-^cb' ac — ca

et si Ton multiplie ces deux dernières relations membre à membre, pour remplacer ensuite le produit xV par sa

valeur — ^ on aura a

c c [ab' — ba')[bc' — cb')

a a [ac' — ca')^

ou, divisant les deux membres par — » chassant ensuite les

dénominateur^ et faisant passer tous les termes dans le premier membre,

(ac' - ca'f — [ab' — ba!){bd — cb') = 0.

On peut résoudre plus simplement la question en éliminant x\ la racine commune des deux équations, des deux relations

ax'^ -\- hx' -^ c = 0,

Pour cela on multiplie les deux membres de la première par a', les deux membres de la seconde par a et Ton retranche membre à membre les deux relations résultantes ; on a ainsi

RÉSOLLTIOiN DE QUESTIONS 579

x'{ab' — ba') -jf-ad -- cd = 0,

Si Ton porte cette valeur de a/ dans une des relations précédentes, la première par exemple, il vient

ac' — co!

( ad — ca! y / ac'—ca' \ \ab'—ba') ~ [ah' — ba'J

-hc = 0,

et celte relation simplifiée donne celle que nous avons trouvée

par une autre méthode.

ac' — ca' Remarque. — Pour valeur de a/ nous trouvons ici ri — r^,

I ab — ba'

I bd cb'

et plus haut -^ ,^ Il est à remarquer que ces deux

i ac — caf

valeurs sont égales, et c'est ce que l'on déduit de la relation

trouvée

(ac' — ca'Y — (ab' — ba'){bc' — cb') = 0,

qui devient, en en divisant les deux membres par le produit

{ab' - ba'){ac' — ca'),

ac' — ca'

bc' - cb'

ab' ba'

ac' — ca' ~~

et donne par conséquent

ad — ca'

. bc' — cb'

ab' - ba'

ac'— ca'

vi V. — Problômes du second degré.

218. I. Un nombre s'écrit 254 dans le système de numération dont la base est 6 et 127 dans un système de base inconnue. Quelle est cette base ?

Soit X la base inconnue du second système. Le nombre en question comprend, avec ce système, 1 unité du troisième ordre, 2 unités du deuxième et 7 unités du premier, soit un total d'unités simples ou du premier ordre égal à

580 ALGÈBBE PRATIQUE

Avec le système dont la base est 6, ce total est

et comme ces deux totaux sont nécessairement égaux, Téqaa-

tîon du problème est

x«-h2ar-f-7 = 2.6*-*-5.6-f-4,

ou, en simplifiant,

ar» -h 2a? — 99 = 0,

d'où a/ = 9,

ar" = — li.

Par sa nature le problème ne peut admettre qu'une solution positive : il s'ensuit que le nombre 9 convient seul à la question.

9 est donc la base cherchée.

219. II. En revendant un objet a francs^ on perd, sur le prix de cet objet autant pour cent quHl avait coÎLté, Quel avait été le prix de cet objet ?

Soit X le prix de l'objet; la perte est égale à rrr- etTéqua-

tion du problème est ainsi

ou x* — 100a; -h 100a = 0.

La condition pour que les racines de cette équation soient

réelles, c'est-à-dire pour que le problème soit possible, est que

Ton ail

50» — iOOa > 0,

d'où a < 25.

Sous cette réserve, l'équation donne

Si l'on a a < 25, les deux racines inégales et positives conviennent à la question, qui admet alors deux solutions. Si l'on a a = 25, les deux racines sont égales et le problème n'a plus alors qu'une solution.

Ainsi le problème admet deux solutions, une ou point, selon que a est inférieur, égal ou supérieur à 25.

320. III. Trouver deux nombres dont on donne la somme a et la somme des cubes b^.

Soit X Tan des nombres ; l'autre sera a — x et Ton aura pour équatioii du problème

(1) a?3 ^ (a — xy = b\ ou, en développant et simplifiant,

(2) 3ax« — 3a*ar -h a» — 6' = 0.

Pour que les racines de cette dernière équation soient réelles, il faut et il suffit que Ton ait

9a* — i2a(a» — 6')>0, ou a{Ab^ — a») > 0.

Cette condition est remplie si l'on a en même temps

a>0 et W>a\ c'est-à-dire 4fc«>a»>0,

ou a<0 et 46'<a% — 4^'<a»<0, ! '

ou bien 4^« — a* = 0, — 46' = a»,

ou enfin a =: 0.

Examinons successivement ces divers cas.

!• 46'>>a'>0. — L'équation (2) a ses deux racines distinctes, et comme leur somme est a, ces racines expriment les deux nombres cherchés.

2« 46'<Ca'<0. — L'équation (2) a encore ses deux racines distinctes, qui ont a pour somme : ces racines sont donc aussi dans ce cas les deux nombres demandés.

3"* 46' = a'. — L'équation (2) a ses deux racines égales dont la somme est a : ces racines expriment encore les deux nombres cherchés, qui sont alors égaux.

4'* Enfin a = 0. — L*équation (2), ou bien son équivalente Téquation (i) qui se prête mieux à l'examen dé ce dernier cas, n'est satisfaite par aucun nombre, si b^ n'est pas nul, et le problème est impossible. Si au contraire on a b^ = 0, Téquation (i) est vérifiée par tout nombre substitué à x, et le problème est indéterminé.

221. rv. Calculer la profondeur d'un puils^ sachant quHl s'est

écoulé t secondes entre le moment où Von a laissé tomber une pierre au-dessus de son orifice et celui où Von a entendu le bruit du choc de la pierre au fond du puits.

Le temps t comprend deux périodes : celle que met la pierre pour atteindre le fond du puits et celle que met le son produit par le choc de la pierre pour monter à l'oreille de Tobservateur. Soient f et t' ces deux périodes et x la profondeur du puits. Le mouvement de la pierre étaut uniformément accéléré, on a, d'après une des formules de ce moavement,

et le mouvement du son étant uniforme, si v en est la vitesse, on a, d'autre part,

(4) x = vf.

Comme les deux quantités t et /' sont liées entre elles par la relation

en éliminant t^ et t" entre ces trois équations on obtient la suivante :

qui devient, en 'faisant passer — dans le second membre et en élevant au carré Téquation résultante,

ou, enfin,

(5) gx^ — 2u(t? -+- gf^ar 4- gr)*t^ = 0.

Discussion, — Le discriminant de cette équation étant

v\V'^gtf — gHH^,

ou v^[v-Jt-'igt),

c'est-à-dire essentiellement positif, les deux racines de Téquation (5) sont réelles et inégales. D'autre part^ le produit v'/* et

la somme — ^^ — de ces deux racines étant l'un et Tautre

positifs, ces deux racines sont toutes deux positives. L'équa-

lion (4) montre en outre que l'on doit avoir — < ^ d'où

« < vt. Or, comme le produit de ces deux racines réelles et inégales est r'f*, il s'ensuit que Tune de ces racines est plus grande que vt et Vautre plus petite. C'est donc cette dernière seule qui répond à la question. Elle a pour expression

ar= ^[v-^gt—\/v(v-h^gt)].

La plus grande racine a été introduite par l'élévation au carré des deux membres de Téquation (4) après avoir trans-

posé le terme —

222. V. Un vase cylindrique de hauteur /, fermé aux deux extrémités et disposé verticalement ^ contient de l'eau jusqu^à une hauteur V et au-dessus de l'air à la pression atmosphérique. A la partie inférieure de ce vase on ouvre un robinet et il se produit un écoulement partiel d'eau qui cesse de lui-même. Quelle est à ce moment la hauteur de l'eau dans le vase ?

Soient x la hauteur de Teau dans le vase après Texpérience, H la hauteur de la colonne barométrique au moment de Texpérience et d la densité du mercure.

Lorsque l'écoulement de Teau s'est arrêté et que l'équilibre est établi, les deux pressions intérieure et extérieure qui s'exercent sur la tranche liquide déterminée par le plan de l'orifice sont égales.

Soit s la surface de cet orifice.

La pression extérieure est égale au produit sHd de cette surface par la pression atmosphérique. La pression intérieure est U somme de la pression de l'eau restante sx et de la force élastique de l'air, que nous représenterons par sWd ; on la déduit comme il suit.de la loi de Mariette : la colonne verticale d'air qui exerce une pression sur la surface s avait primitivement pour volume s(Z— /') et sa force élastique était celle d'une atmosphère^ soit sEd; après l'expérience, ce volume devient s{l — x) et la force élastique qui est à déterminer

est sWd. La loi de Mariotte, qui exprime que les Yolumes d'une même masse gazeuse, à température constante, sont en raison inverse des pressions que cette masse supporte, donne, entre les quatre quantités précédentes, la relation

sH'd sjl^e) sEd ~ *(/ - x) '

d ou sn'd = — p ^ .

L'équation du problème est dès lors la suivante :

SX H j-^ ' = 5Hrf,

ou, en simplifiant,

x«--(/4-H(i)a;H-/'Hrf = 0.

Les racines de cette équation sont réelles, car Ton a

(,) (i±Si)'ra,>o.

En effet, si l'on remplace /' par / dans cette expression on a nécessairement

puisque cette relation revient à cette autre :

(H(i-/)«>0, qui est évidente.

Or^ comme lUd est une quantité plus grande que fH^f» puisque la relation (2) est satisfaite, la relation (I) Test a fortiori.

Dès lors, on a

Ces deux racines sont évidemment positives, mais la plas petite de ces racines convient seule, car pour /' = 0, il faut que l'on ait x = 0,

La solution du problème est ainsi la suivante :

. = iiïïi^/7I+2?V,Hj.

-s/VW^

223. VI. Le$ rapports direct et inverse de deux nombres arithmétiques donnent pour somme a ; les nombres eux-mêmes donnent pour somme b ; trouver ces deux nombres.

Soient a? et y les deux nombres ; on aura pour équations du

problème

x-hy = b.

Si Ton chasse les dénominateurs dans la première, et si Ton élève au carré les deux membres de la seconde, on obtient le système suivant, qui peut être substitué au précédent, quoique plus général dans sa seconde équation,

X* -+- Sxy + y» = b\

En remplaçant, dans la dernière équation, Tensemble des

deux termes x* -4- y* par leur valeur axy tirée de l'autre équa.

tion, on a

{a-f-2)xj/ = 6*,

b^ xy =

d'où

des deux

Connaissant alors la somme b et le produit

^ aH-2

nombres cherchés x et y, ces deux nombres sont les racines de Féquation du second degré

Pour que ces racines soient réelles, il faut et il suffit que l'on ait

c*est-à-dire a > 2.

Lorsque cette condition est remplie, les deux nombres sont donnés par la formule

-=TMm)

et ces deux nombres sont positifs, le radical étant inférieur à Tunité. Cette dernière considération se déduit aussi de ce double fait que la somme et le produit des deux nombres sont Tun et l'autre positifs .

Remarque. — On aurait pu mettre le problème en équation en représentant Tun des nombres par x et l'autre par b — x (leur somme étant égale k b) : on n'aurait eu alors qu'une

équation»

La première marche nous parait plus simple et plus élégante.

224. VII. Deux miroirs sphériques concaves de même rayon sont disposés vis-à-vis Vun de Vautre de manière que leurs, oses principaux coïncident. Déterminer le point de cet axe commun où il faut placer une source lumineuse pour que les deux images se confondent.

Soient r le rayon commun de ces deux miroirs, d la distance de leurs sommets, x et y les distances respectives du point lumineux et de son image à Tun de ces miroirs.

En appliquant à ce premier miroir la formule

on aura comme première équation du problème

L Jl - 1

La seconde équation résultera de Tapplication de cette môme formule au second miroir :

En chassant les dénominateurs, ces équations (i) et (â) de-

viennent, après toutes simplifications,

(3) r(x -f- y) — 2an/ = 0,

(4) (id — r){x -h y) — 2jrj/ = 2d{d — r).

Si l'on prend pour inconnues auxiliaires x-\-y et xy^ les équations (3) et (4) constituent un système d'équations simultanées du premier degré à deux inconnues, d*où Ton tire