IV. Etudier les variations de la fonction

pour en déterminer le maximum ou le minimum.

Le dénominateur de la fonction s'annule pour les valeurs

de x égales à -3- et à — 1 ; de plus il passe, dans ses varia-

tions, par un minimum pour la valeur de x égale

à la demi-somme 5 , ou —1 des valeurs qui l'an-

nuleot.

Cela posé , on range par ordre de grandeur croissante

les trois valeurs remarquables de a?, ■3-» — 1 et — »

en y ajoutant les valeurs — 00 et -4- 00 , et Ton a la série

de nombres

3 5 -00, -i, -, -^f -f-QO.

On fait ensuite croître a? de — 00 à -h 00 en s'arrêtant successivement sur chacune de ses valeurs particulières pour déterminer, au moyen de la fonction mise sous la forme

et les valeurs correspondantes de y et le sens de ses variations dans les intervalles formés par ces valeurs.

Le tableau qui suit» dans lequel D représente le dénominateur de la fonction, résume la discussion et* les résultats obtenus.

décroît

croit

décroît

croit

— — (maximam)

croit

décroît

croit

décroit

-hco

En représentant graphiquement ces variations, on obtient la courbe {fig. 17), symétrique par rapport à la droite BC menée

Fig. 17.

parallèlement à Taxe des y par le point A où cette courbe présente un maximum; deux de ses branches infinies sont asymptotes à Taxe des x et les quatre autres sont asymptotes

deux à deux aux droites parallèles à Taxe des y menées par

les points Xi = — 1 et xj = -h —.

Il résulte de tout, ce qui précède que la fonction étudiée passe par un maximum pour une valeur de x égale à la demi-somme des deux racines du trinôme qui forme son dénominateur,

232. Méthode Indirecte. — Les fonctions auxquelles la méthode directe est applicable sont bien peu nombreuses ; aussi a-t-on recours parfois, surtout lorsque la question ne comporte exclusivement que la recherche d'un maximum ou d'un minimum, à une autre méthode dite indirecte^ qui peut se résumer ainsi qu'il suit. On égale comme précédemment la fonction à la lettre /y que l'on considère comme représentant une valeur déterminée: on résout par rapport à x l'équation qui en résulte ; on discute la solution et Ton cherche les limites entre lesquelles doit être comprise la valeur y pour que X ait des valeurs acceptables : on trouve dans ces limites les maxima ou les minima de la fonction étudiée.

Nous allons appliquer cette méthode à quelques questions.

233. I. Déterminer le maximum ou le minimum d'un produit de deux facteurs dont la somme est constante.

Si a représente la somme constante et x Tun des deux fac- ^teurs, le produit a pour expression x(a — x); en l'égalant à la valeur t/, on a y = x (a — x).

Cette équation en x se met sous la forme

(1) ar' — aj:-i-j/ = 0.

Pour que les racines de cette équation soient réelles, il faut et il suffit que Ton ait a* — 4y > 0, d'où il vient

y a donc une valeur maxima -— , mais n*a pas de minimum,

a* et lorsque y atteint cette valeur j-, l'équation (i) donne

A Cl

j = — » et l'on a aussi a — x = -— î c'esl-à-dire que le z z

produit de deux facteurs dont la somme est constante rCa pas de

minimum^ mais il prend une valeur maxima lorsque les deux

facteurs sont égaux.

C'est ce que nous avons trouvé par la méthode précédente.

234. II. Déterminer le maximum ou le minimum de la somme de deux facteurs dont le produit est constant.

Si m représente le produit constant et x Tun des deux fac-

m leurs, la somme a pour expression x-\ — ; en régalant à la

valeur y, on a

Cette équation en x, par Tévanouissement du dénominateur et la transposition de tous les termes dans un même membre ^ donne

(1) X* — ya? 4- wi = 0.

Pour que les racines de cette équation soient réelles, il faut et il suffit que Ton ait y> — 4m > 0.

Deux cas se présentent selon que m est négatif ou positif.

i** Si m est négatif, cette dernière relation est toujours satisfaite et y n*a ni maximum ni minimum.

2* Si m est positif, la relation précédente peut s'écrire

et sous cette forme on voit qu'elle ne peut être satisfaite que

si Ton a

y < — 2Vm

ou y > -h^y/m.

y a donc : 1° un maximum, — 2v^m, pour lequel Téquation (1) donne — v^ comme valeur correspondante de x;

f* un minimum, -H2v'm, qui correspond à x = -hV'wi ;

m dans les deux cas les deux facteurs x et — deviennent égaux .

En résumé, la somme de deux facteurs dont le produit est constant n^a ni maximum ni minimum si ce produit est négatif; elle a un maximum et un minimum si ce produit est positif : le

maximum coi^espond au cas de deux facteurs égaux et négatifs ei le minimum au cas de deux fadeurs égaux et positifs.

C'est le résultat auquel nous avons été précédemment amené.

235. Ilf . Déterminer les maxima et les minima de la fraction

ar» —2x4-1 2a:« 4- 2a? H- 1 ' Ecrivons que cette fraction est égale à la valeur y :

__ .r« — 2ar+i ^"" 2x* 4- 2a: 4-1* et mettons Téquation du second degré en .r qui en résulte sous la forme entière :

Pour que cette équation ait ses racines réelles, il faut et il suffit que Ton ait

Ce qui revient à — !/*-+- 5y > 0, ou, en changeant les signes et mettant y en facteur commun,

Or cette inégalité du second degré, dont le premier membre s'annule pour les deux valeurs t/ = 0 et y = 5, ne peut être satisfaite que pour les valeurs de y comprises entre 0 et 5. Il s'ensuit que 0 est un minimum de y, que 5 est un maximum et qu'il y a, d'après l'équation (1), deux valeurs réelles et distinctes de x pour lesquelles y prend toute valeur comprise entre 0 et 5. Mais pour chacune de ces deux dernières valeurs de y, celles de x deviennent égales. On les calcule en remplaçant y successivement par ses deux valeurs 0 et 5 dans l'expression i^' ^ ' ? ^ ' "* \ " ^.utLîJL

ar =

que donne Téquation (1) quand y atteint son maximum ou son minimum, c'est-à-dire lorsque le discriminant de l'équation s'annule.

On obtient x' = 1 et x" = — —•

Ainsi la fraction donnée prend une valeur maxima égale à «5

pour X = — — et une valeur minima égale à 0 pour

Etude des variations. — Cette détermination faite, on peut étudier les variations de cette fraction lorsqu'on fait croître x de — ao à 4- « .

Pour cela, on cherche d'abord les racines des deux trinômes qui forment les deux termes de cette fraction. Le numérateur a ses deux racines égales à 1 et le dénominateur n'admet pas de racines réelles. Il est à remarquer ici que le nombre 1 , qui est une racine double du numérateur de la fraction, est en même temps, la valeur de x pour laquelle cette fraction atteint son minimum. De sorte que les valeurs remarquables de x se

réduisent à deux, — -— et 1. Si on les range par ordre de

grandeur croissante en y ajoutant les valeurs — oo et -h oo , on a la série de nombres

qui sert à trouver, au moyen de la fraction donnée mise sous la forme (ar — 1)*

^ ^ 2ar« -+- 2ar -+- i ' et en suivant la même marche que dans le problème IV (231), les valeurs correspondantes de y, en même temps que le sens de sa variation dans chacun des intervalles déterminés par ces valeurs, lorsqu'on fait croître a? de — oo à -h oo , Le tableau suivant résume la discussion

Tcroîl

5 (maximum)

décroît

0 (minimum)

croit

' Les valeurs de y pour ar = ± oo s'obtiennent par le procédé déjà employé (194) pourcalculer la vraie valeur d'une frac-

tion lorsqu'elle se présente sous la forme — pour une certaine valeur attribuée à Tune de ses lettres. Ici, en divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction para:' nous obtenons .

ML

et en faisant j = ±: oo , il vient y = -—-

La représentation graphique de ces variations donne la courbe (fig» 18) tout entière comprise entre son maximum en A

Fig. 18.

et son minimum en G, et dont les branches infinies ÂB et CD sont respectivement asymptotes au-dessus et au-dessous

à la parallèle menée à Taxe des x à une distance y = -+- — .