IV. Déterminer les maxima et les mtnima de la fraction
X» — ia? +- 4 a:2 — 5a? -+- 4 '
Cette fraction, égalée à y, donne l'équationdu second degré
en X ,,. ar* — 4x-h4
qui, mise sous la forme entière, s'écrit
Pour que cette équation ait ses racines réelles, il faut et il suffit que roD ait (Sy — 4)« — 1 6 (y — i)* > 0, ce qui revient à j/(9j/ — 8) >,0.
Cette inégalité du second degré, dont le premier membre
g s'annule pour les deux valeurs y = 0 et y = — « ne peut
être satisfaite que pour les valeurs de y inférieures à 0 ou
supérieures à -^ • Il s'ensuit que 0 est un maximum^ que
-^ est un minimum, et qu'il y a, d'après Téquation (2),
deux valeurs réelles et distinctes de x pour lesquelles y prend
toute valeur inférieure à 0 ou supérieure à -^ . Mais pour
chacune de ces deux dernières valeurs de y, celles de x devien-
neut égales. On les calcule en remplaçant y successivement
g par ces deux valeurs û et --- dans Tex pression
que donne Téquation (2) quand y atteint son minimum ou son maximum, c'est-à-dire lorsque le discriminant de Téquation s'annule.
On obtient 2' = 2 et x' = ~ 2.
Ainsi la fraction donnée prend une valeur minima égale g à — pour a: = — 2 et une valeur maxima égale à 0
pour X = 2.
Etude des variations, — Comme dans la question précédente, on peut avec ces résultats étudier les variations de cette fraction lorsqu'on fait croître ar de — oo à h- oo .
Pour cela, on procède de la même manière^ c*est-à-dire qu'on cherche les valeurs de x qui annulent le numérateur et le dénominateur de cette fraction.
Ces valeurs sont, pour le trinôme numérateur, la racine double +2 et pour le trinôme dénominateur les racines -+-4 et 4-i.
Si Ton range maintenant par ordre de grandeur croissante les quatre valeurs remarquables de x trouvées, en y ajoutant les valeurs — oo et -h oo , on a la série de nombres
— 00, —2, i, 2, 4, -hoo,
qui sert à déterminer^ au moyen de la fonction (1) mise sous la forme
et les valeurs correspondantes de t/, et le sens de sa variation dans chacun des intervalles limités par ces valeurs, lorsque X croît de — oo à -h oo .
Le tableau suivant résume la discussion :
décroît
•+• ^ (minimum)
croit
-hl
nri
croit
0 (maximum)
décroît
décroît
-ht
En représentant graphiquement ces variations, on obtient la courbe [fig. 19) située partie au-dessus de sa valeur ininima en À et partie au-dessous de sa valeur maxima en B. Deux
Fijç . 19.
de ses branches infinies sont asymptotes à la droite menée parallèlement à Taxe des x à une distance y = +1, et les quatre autres sont asymptotes deux à deux aux parallèles menées à l'axe des y à des distances oti = + 1 et X2 == + 4.
