r-hl

qni, mise sous la forme entière, s'écrit

l^our que cette équation ait ses racines réelles, il faut et il suffit que Ton ait

(2y-l)'-4(î/-iXy-3)>0,

-ce qui revrenl à

Cette inégalité du premier degré, dont le premier membre

s'annule pour la valeur .y = -r^, ne peut être satisfaite que

pour les valeurs de y supérieures à —, Il s'ensuit que -j^-

€st un minimum et qu'il y a, d'après l'équation (2), deux valeurs

réelles et distinctes de x pour lesquelles y prend toute valeur

supérieure à j^-- Mais pour cette dernière valeur de y, celles

de X deviennent égales. On calcule cette valeur commune en remplaçant y par sa valeur -j^ dans l'expression

que donne l'équation (2) quand y atteint son minimum, c'est-

■à-dire lorsque le discriminant de l'équation s'annule.

On obtient

Ainsi la fraction donnée prend une valeur niinima égale à -r^

pour x = — 5, mais elle n'a pas de maximum.

Etude des variations, — Il n'y a pas de valeur de x qui rende nul le numérateur de la fraction, mais le dénominateur s'annule pour la racine double h- 1 de ce trinôme.

Si l'on range par ordre de grandeur croissante les deux valeurs remarquables de x trouvées, en y joignant les valeurs — 00 et -!-«>, on a la série de nombres

— Xj — 5, -hl, H- 00

<iui sert à déterminer^ au moyen de la fonction (1) mise sous la forme

et les valeurs correspondantes de y, et le sens de sa variation dans chacun des intervalles limités par ces valeurs, lorsque X croît de — x à -+- » .

Le tableau suivant résume la discussion :

décroît

Il , . .

-r^ (minimum)

croit

-f-oo

décroît

-f-cx>

La représentation graphique de ces variations donne la conrbe (fig. 20) sitnée tout entière au-dessus de son minimum

en A et dont les quatre faraiicbrrs û.finîe* v^ùI ^•y:/,:,!',»*'*^. deux k la paraJj'r]*: mtz.*:*: k :'ài^ 4^-* x a t',*r c.^/js:.'^

lance 4- = -- I .

33S. VI. Ùêî^rmâhKr Un m>%2\\ . -^r ^* ••'.

1*4.1 UT, — «iTmofi':..

En égalant cette fraction |à y, on obtient réquation du second degré en x

qui, mise sous la forme entière, s'écrit

(2) (y - 2)a:«-h(î/ -f- l)ar- (2y-3) = 0.

Pour que cette équation ait ses racines réelles, il faut et il suffit que Ton ait

(y-Hi)» + %-2)(2y-3)>0,

ee qui revient à

Qxf — 261/ H- 25 > 0.

Or, quel que soit y^ cette condition est toujours remplie, car les racines du trinôme qui en forme le premier membre sont imaginaires, et, par suite, ce trinôme est positif pour toutes les valeurs de y. Il en résulte que la fraction donnée n'a ni maximum ni minimum.

Elude des variations. — Les valeurs de x qui annulent le

numérateur de la fraction sont — i et -+- — i et celles

qui annulent le dénominateur, — 2 et h- 1.

Si Ton range par ordre de grandeur croissante ces quatre

valeurs remarquables dé a? en y ajoutant les valeurs — «

et -+- 00 , on a la série de nombres

qui sert à trouver, au moyen de la fonction (i) mise sous la

forme

{x 4- l)(2jr — 3)

et les valeurs correspondantes de t/, et le sens de sa variation dans chacun des intervalles déterminés par ces valeurs, lorsque x croît de — oo à -f- oo . Le tableau suivant résume la question :

HÉSOLDTION DE QUESTIONS

croit

La représentation graphique de ces variations donne la courbe (fig. 21) dont quatre branches infinies sont asj'mptotes

deux à deux aux parallèles menées k l'axe des y à des dislances XI = — 2 et Xl—+^, et les deux autres asymptotes h. la parallèle menée à l'axe des t k une dislance