Théorèmes généraux sur les luaxlma et les mlnlma

En dehors des deax méthodes précédentes, TAlgèbre élémentaire se sert des théorèmes suivants pour résoudre un très grand nombre de questions, avec cet avantage particulier que les fonctions auxquelles conduisent ces questions peuvent dépendre de plusieurs variables.

I. Lorsque la somme de plusieurs nombres positifs variables est constante^ le produit de ces nombres est maximum quand ils sont égaux, s'ils peuvent le devenir,

II. Lorsque la somme de plusieurs nombres positifs variables est constante f le produit de puissances positives de ces nombres est maximum quand ces nombres sont proportionnels à leurs exposantSy s'ils peuvent le devenir,

m. Lorsque le produit de plusieurs nombres positifs variables est constant^ la somme de ces nombres est minima quand ils sont égaux, s'ils peuvent le devenir,

IV. Lorsque le produit de plusieurs puissances positives de nombres positifs variables est constant, la somme de ces nombres est minima quand ils sont proportionnels à leurs exposants, s'ils peuvent le devenir.

Ces théorèmes énoncés, passons à Tétude de quelques questions.

240. I. Quelle est la valeur de x qui rend maximum le produit {Ax — a)(b — 'Sx) ?

La somme des deux facteurs du produit donné n'est pas constante ; mais si Ton multiplie ces deux facteurs respectivement par deux nombres choisis de façon que les coefficients de X deviennent égaux, cette somme deviendra constante. Les multiplicateurs entiers les plus petits sont ici, 3 pour le premier facteur et 4 pour le second. En effectuant les multiplications, le produit prend ia forme

(i) (12a? — 3aX46 — 12x),

ce qui revient à

Et comme il est évident que le maximum de ce dernier pro-

duii correspond au maximum du produit de ses deux facteurs variables, chercher le maximum du produit proposé revient à chercher celui du produit (2) ou du produit (1) qui lui est égal. Or celui-ci a ses deux facteurs dont la somme

(12x— 3a)-h(46 — i2ar) est constante et égale à 4^ — 3a.

D'après le théorème I (239), le produit (i) et par suite le produit donné sera maximum si Ton a

d'où X =

241. II. Trouver les valeurs de x et de y qui rendent maximum leur produit xy^ sachant que ces deux variables sont liées entre elles par la relation

m n m et n étant des constantes, il est évident que le maximum

de xy correspond à celui de — ^ > que l'on peut écrire — — .

Tnn m n

Or la relation ci-dessus indique que les deux facteurs de ce dernier produit ont une somme constante. Il s'ensuit, d'après