X XI
le théorème I (239), que le produit ^ est maximum si
Von a
ce qui est possible.
En remplaçant dans la relation donnée -^ par sa valeur
égale
on
obtient
d'où
Ce sont là les deux valeurs cherchées de a? et de ^.
. . mn
Le maximum de xy a pour expression — -- •
Remarque. — En Géométrie, on peut ramener à cette question le problème suivant : De tous les rectangles inscripiibles dans un triangle donné , quel est celui dont l'aire est maxinta ?
242. III. Partager le nombre 48 en trois parties telles que le produit de la première par le carré de la seconde et par le cube de la troisième soit maximum.
Si 07, 2/ et z représentent les trois parties du nombre 48^
on a
et le produit dont il s'agit de trouver le maximum a pour
expression
xyh^.
D'après le théorème II (239), ce produit sera maximum si Ton a
Ces conditions sont compatibles; elles donnent
s ar-i-t/-f-z __48 3 " i-t-2-h3 ~ "6" - •
Les trois parties du nombre donné pour que le produit opt/V soit maximum sont donc 8, 16 et 24; et ce produit est 3072.
243. IV. Trouver les valeurs de x et de y qui rendent maximum le produit xhj, sachant que ces deux variables sont liées entre elles par ta relation
Le maximum de xhj correspond évidemment au maximum de son carré x^y^, que Ton peut écrire
{x'Ty\
et qui exprime sous cette forme le produit de deux facteurs respectivement égaux au carré et à la première puissance des deux nombres x^ et y^ dont la somme est constante, ainsi que l'indique la relation ci-dessus. Il en résulte, d'après le
où
ron
tire
théorème II (239), que le produit (a?*)*t/' est un maximum si ron a
c est-à-dire x^ = 2t/',
ce qui est possible.
En substituant à x^ sa valeur 2t/* dans la relation
on obtient
d où X = — !
Ces deux valeurs de x et de t/ qui rendent maximum le
produit a:*j/* rendent aussi maximum^ comme nous Tavons
dit, le produit x^y.
A ', • • 2aV3
Ce produit maximum a pour expression — - — •
Remarque. — On peut ramener à cette question les deux problèmes de Géométrie suivants :
i** De tous les cylindres inscrits dans une sphère de rayon donnée quel est celui dont le volume est maximum ?
2® De tous les cônes qui ont leur sommet au centre d'une sphère de rayon donné et pour base un cercle quelconque de cette sphère^ quel est celui dont le volume est maximum ?
244. V. Quelles sont les valeurs de x, y et z qui rendent minima la somme art/ -h yz -f- zx, sachant que ces trois variables sont liées entre elles par la relation
xyz = a^?
En élevant au carré les deux membres de cette relation on
obtient la suivante :
x^y^z^ = a®, qu'on peut écrire
i^y){y-){z^) = aS
et qui exprime, sous cette forme, que le produit des trois nombres ,ry, yz et zx est constant. Il s'ensuit, d'après le théo-
réme III (239), que la somme de ces trois nombres est minima si l'on a
ce qui est possible et d'où Ton tire
En rapprochant ces relations de celle que contient l'énoncé
du problème,
xyz = a\
on obtient x =z y = z = a.
C'est cette valeur a commune à chacune des inconnues x, y et 2, qui rend minima la somme de xy-hyz-h zx^ et celte valeur minima a pour expression 3a^.
Remarque. — On ramène à cette question le problème géométrique suivant :
De tous les parallélépipèdes rectangles de même volume^ quel est celui dont Vaire totale est minima?
