VI. Trouver les valeurs de x et de y qui rendent minima
la somme x^ -+- a:y, sachant que ces deux variables sont liées
entre elles par la relation
Si l'on élève au carré les deux membres de cette relation,
on a la suivante :
x^y^ = a*, qui peut s'écrire
{x^)(xyy = a%
et qui exprime, sous cette forme, que le produit de la première partie de la somme x^-^xy par le carré de la seconde est constant. Il s'ensuit, d'a[»rès le théorème IV (239), que cette somme est minima si Ton peut avoir
a?* xy
c'est-à-dire y = 2a:,
ce qui est possible.
En portant cette valeur de y dans la relation
on obtient
d'où y = (i V2^.
Ce sont là les valeurs demandées de x et de y. Le minimum de ar^ -h xt/ a pour expression
Remarque. — En Géométrie, on peut ramener à cette question le problème suivant :
De tous les cylindres de même volume^ quel est celui dont l'aire totale est minima ?
§ VII. — Progressions.
246. 1. Trouver le premier terme et la raison d'une progression arithmétique sachant que la somme des n premiers termes de cette progression est^ pour toutes les valeurs de n, égale à n(3n+l).
Soient a le premier terme et r la raison de cette progression, qu'on peut dès lors écrire
Si l'on ne prend que le premier terme a de cette progression, l'expression n(3n + i), dans laquelle on fera n = i, donnera la somme correspondante, et Ton aura
a = 3-hl = 4.
Si Ton prend les deux premiers termes, a et (a-+-r), la somme aura pour expression
a^la-^r) =2(3.2 + 1),
ou 2a 4- r = 14.
Ed remplaçant, dans cette dernière équation, a par sa valeur 4 déjà trouvée, on obtiendra
Ainsi, 4 est le premier terme de la progression considérée et 6 en est la raison. Cette progression est la suivante :
Pour montrer j[ue l'expression n(3n-hl) donne toujours la somme des n premiers termes, quel que soit n, exprimons la somme des n premiers termes. Le n* terme étant 4 H- (n — 1)6, cette somme est égale à •
nr2x4H-(n — 1)6J
et en simplifiant ce résultat on reproduit l'expression
247- II. Deux mobiles M et M' partent en même temps de deux points A et B, distants de 76™, et marchent sur la droite AB dans le même sens, M' poursuivant M. Le premier parcourt 1" dans la première minute, 2™ dans la deuxième^ 3™ dans la troi' sième, et ainsi de suite, de sorte que lavitesse croisse en progression arithmétique. Le second parcourt 3" dans la première minute, 4™ dans la seconde^ 5» dans la troisième, et ainsi de suite. Après combien de minutes le mobile M' atteindra-t-il le mobile M?
Soit n le nombre de minutes que mettra le mobile M' pour atteindre le mobile M. Le chemin qu'aura parcouru le mobile M sera exprimé par la somme des termes de la progression arithmétique limitée
et celui qu'aura parcouru le mobile M' le sera par la somme des termes de la progression arithmétique limitée
Or la première somme a pour expression
et la seconde,
d'où réquation du problème :
qui donne n = 38.
248. III. Calculer le premier terme d'une progression arithmétique et le nombre de ses tenues^ sachant que la raison est égale à 2, la somme des termes égale à 72 et le dernier terme égal à 21 .
En appliquant à ces données les deux fonnules connues
l = a'\-{n — l)r, c Ma -+- /)
OQ aura le système suivant de deux équations du second degré à deux inconnues a et n :
72 = :î(^i±lil .
De la première de ces équations on tire
en introduisant cette expression de a dans la seconde équation^ on obtient, après simplification, la suivante :
qui donne n = 11 ±7,
d'où n' = 4
et n" = 18.
Les valeurs correspondantes de a tirées de (1) sont
et a'' = —13.
Le problème "admet donc deux solutions, c'est-à-dire qu'il y a deux progressions arithmétiques qui répondent à la question: Tune qui a 4 termes et dont le premier est 15, Tautre qui a 18 (ermes et dont le premier terme est — 13.
249. IV. Dans la suite des nombres impairs 1, 3, 5, 7,... on forme des groupes de manière que le premier groupe contienne
le premier nombrey le deuxième groupe les deux nombres suivants^ le troisième groupe hs trois nombres suivants, et ainsi de suite. On demande d'exprimer la somme des nombres de chacun det groupes successifs.
Si Ton effectue ces sommes, on obtient successivement pour la première, i ;
pour la deuxième, 3 + 5 ou 8;
pour la troisième, 7 -h 9 -H il ou 27 ;
pour la quatrième, 13+15 -h 17 -+- 19 ou 64; etc.
Or ces nombres I, 8, ^1, 64^... forment la suite naturelle des cubes des nombres entiers 1% 2', 3^ 4% etc.
Pour démontrer que cette loi de formation est générale, c'est-à-dire que la somme des nombres d'un groupe quelconque est égale au cube du nombre qui marque le rang de ce groupe, cherchons à exprimer la somme des nombres qui composent le groupe de rang n .
Avant ce groupe, il y en a n — 1 qui contiennent succès-
sivement 1,2,3, .. .,(?i — 1) nombres ou — -- Or le
nombre impair de rang ^ — - estégalà 2| — ^1"*
ou à n{n^ 1) — 1 ; et comme le premier nombre du n« groupe, qui est égal au précédent augmenté de 2 unités, a pour expression n[n — i)-hl, il s'ensuit que ce n* groupe comprend la série suivante de nombres impairs :
n(n— l)-hl, n(H--l)+3, n(n — 1)h-5, ..., n(n— l) + (2n— 1)
dont la somme est
ou n^n — 1) H ■ — ^ '
ou enfin n^
Ce résultat indique bien que la somme du n^ groupe est égale au cube du nombre n qui marque le rang du groupe.
250. V. Quels sont les quatre nombres en progression arithmé' tique dont le produit est N, la raison étant r?
Si l'on prend pour inconnue le premier nombre cherché, la mise en équation du problème donne une équation du quatrièaie degré, que Ton peut résoudre par remploi de certains artifices; mais on peut tourner la difficulté en choisissant l'inconnue de manière que Téquation soit bicarrée.
Pour cela posons r=2r\ et représentons par x — r' le second nombre ; le premier sera x-r-3/ ; le troisième x -hr et le quatrième a? -t-Sr'.
On aura dès lors Téquation
(x — dr^{x — r^){x H- r'){x -h 3i') = N,
on (x^ — 9/2)(a?« - /*) = N,
ou encore
(1) x' — lO/^ar'- -+- 9/* — N = 0,
et, si Ton posé y = a:*,
(2) y8 — lOr'^y -+- Qr'* — N = 0.
Pour que cette équation ait ses racines réelles, il faut et il
suffit que l'on ait
25/* — Or'* -+- N > 0,
ou 16r'*-HN>0.
Lorsque la première de ces relations,
est satisfaite, les deux racines de Téquation (2j sont réelles et distinctes; quant à leur signe, il dépend de celui de leur somme et de celui de leur produit. Or, la somme de ces racines,
10/* ou -^r», est toujours positive, et leur produit, 9r"* — N
g ou -T^r* — N, est positif, négatif ou nul suivant que N est
inférieur, supérieur ou égal à
• Lorsque la seconde relation
16?-'* 4- N = 0, qui revient à N = — r*,
est satisfaite, les deux racines de Téquation (2) sont réelles et
égales.
Examinons successivement les quatre cas que comportent
ces considérations.
i« — r* <; N <[ TS'^*- L'équation (2) a ses deux racines
positives et Té^uation (1) donne quatre valeurs pour or, égales deux à deux en valeur absolue et de signes contraires.
Dans ce cas, le problème a quatre solutions représentées par les quatre progressions suivantes, dans lesquelles nous désignons par y' et y" les racines de Téquation (2) :
(a) ^ /jT — -r. ^Y—^T, ^y'-t--r. n/^ -+- — r. (6)^ ^^-g-^- ^y^""!''- v/y^+2-^*- v/t/^jr.
Mais il est à remarquer que les termes des deux progressions
(c) et [d) sont respectivement ceux des deux progressions (a)
et {h) changés de signe.
^ ^ > T5" ''*• L'équation (2) n'a qu'une racine positive,
et par suite Téquation (1) n'admet que deux valeurs pour ar, égales et de signes contraires.
Dans ce cas, le problème n'a que deux solutions représentées par les deux progressions suivantes, dans lesquelles y' désigne la racine positive de l'équation (2), et où les termes de la seconde sont ceux de la première pris avec des signes contraires :
(e) - v/t/"— Y'*, ^ly"-^^' v//^-Y^- >l'^-^^'^'
3" N = — r*. L'équation (2) a une racine nulle et une
racine positive, et Téquation (i) admet dès lors trois valeurs pour or, une égale à zéro et les deux autres différentes de zéro, mais égales en valeur absolue et de signes contraires, qui donnent les trois solutions suivantes :
ih\ ^-3 ^ v/ÎÔ-1, •ÎÔ^l ^ •î5 + 3^
/ÎÔ-4-3 v^îU-t-i v/ÎÔ-1 •10 — 3
Les termes de la progression {%) sont ceux de la progression [h) changés de signe.
4» EnOn, lôr'* -*- N = 0, ou r* -h N = 0, ou bien
ÎS = — r*. L'équation (2) a ses deux racines égales, positives
parce que leur somme — r* est positive, et Téquation (1) ne
donne ainsi que deux valeurs distinctes pour or, égales en Talenr absolue et de signes contraires.
Dans ce cas, le problème a deux solutions représentées par les deux progressions suivantes, dans lesquelles les termes de la seconde sont ceux de la première pris avec des signes contraires :
/B — 3 v/5 — 1 v/B-+-i /Bh-3
En résumé, le problème admet 4, 3 ou 2 solutions suivant
que N est inférieur, égal ou supérieur à t^t**, avec cette
Ib
double restriction toutefois que lorsque N est inférieur à -r^^'S
le problème n'a que 2 solutions si N est égal à — r*, et n'en a pas si N est plus petit que — r*.
251. VI. Trois nombres sont à la fois en progression arithmétique et en progression géométrique. Quelle est la relation entre ces nombres qui résulte de cette double condition ?
Soient a, 6, c les trois nombres. On a d'une part
d'autre pari,
De cette seconde relation on déduit, en retranchant chaque dénominateur du numérateur correspondant,
Or, comme les numérateurs de ces deux derniers rapports
égaux sont égaux, il s'ensuit que les dénominateurs le sont
aussi et que Ton a
Cette condition introduite dans (1) donne, d'un autre côté,
Il résulte de ces deux dernières relations que les trois nombres a, 6, c sont égaux.
Autre méthode, — Représentons les trois nombres par les expressions a — r, a, a-^r, qui sont en progression arithmétique. Pour que ces trois nombres soient aussi en progression géométrique, il faut que Ton ait
ou a^ = a^ — r*.
Or cette égalité ne peut exister que si r est nul. D'où il suit que les trois nombres, respectivement égaux à a, sont égaux entre eux.
252. VII. Trouver y par l'emploi des progressions géométriques^ la règle à suivre pour exprimer la fraction ordinaire génératrice d'une fraction décimale périodique simple.
Soit une fraction décimale périodique simple
BÉSOLUTiON DE QUESTIONS 625
On peut récrire dé la manière suivante :
Or, sous cette forme, elle est la somme des termes d'une
progression géométrique décroissante illimitée qui a pour pre-
nier terme -rrr^ et dont la raison est -r-^^^'y cette
1 UUU 1 tlUU
lomme a donc pour expression limite
lu, après simplifications,
Ce résultat se traduit en langage ordinaire en disant que la ^ction ordinaire génératrice d'une fraction périodique simple a four numérateur le nombre formé par la période et pour déno-
tinateur le nombre formé par autant de 9 qu'il y a de chiffres ins la période.
C'est bien la règle formulée en Arithmétique.
253. VIII. Une personne vend des pommes de la manière suivante : une première fois elle en cède la moitié^ plus une demipmme ; la deuxième fois la moitié de ce qui lui reste, plus une )tmi'pomfne ; la troisième fois la moitié de ce qui lui reste, plus pfie demi-pomme, et ainsi de suite jusqu'à la n* vente après Quelle toutes ses pommes sont vendues. Quel était le nombre ital de ses pommes ?
Soit X ce nombre total de pommes.
La première rente a pour expression -3- -i- ~- ou — - — ;
\ deuxième, 5 h - ou >
i troisième, ^- -^ ow - ■ >
OAUZAT. — MÉTHODOL. iQ
et en continuant ainsi^ on trouve, pour la quatrième,
pour la cinquième, — ~ — ; enfln, pour la n% — - —
L'équation du problème est dès lors la suivante :
jr-hi x-h1 ar-f-l ar-4-i
ou, en considérant que le second membre de cette équatioi
est la somme des n premiers termes d'une progression géo
or-l- 1 a:-Hl
métrique, dont le premier est — - — » le n«^, — 3 — et il
raison — »
.r H- 1 x~hi 1 2 2^» ^ 2
d'où Ton tire
2»ar — 2'»(a?-+-i) — (a? -4-1)
et enfin
ar - 2»» 1 .
254. IX. Exprimer la somme des n premiers termes de U suite q -f- ^q^ -h 3^' -h ... -H nq"" et trouver la limite de cetti somme lorsque n tend vers Vinfim.
Cette somme peut se décomposer ainsi :
c'est-à-dire en une suite de n progressions géométriques, disposées dans le sens horizontal du tableau. La somme des fermes de la première a pour expression
^ -; celle des termes de la deuxième, ^ -
celle des termes de la troisième, 2, et en
contiDuant ainsi, celle des termes de la (n — 4)<^,
^ 7 5 et celle des termes de la n\ q^.
On a dès lors pour la somme totale :
S = '-^ ^ ^ ^ 2 ^gn
En second lieu, pour trouver la limite de cette somme lorsque n tend vers rinfini, nous considérerons les trois cas suivants :
1® 9 > i . Mettons la somme précédente sous la forme
^ yn+i^n(y--i) — i]-t-y
^- (7irî)i
et remarquons que le numérateur de cette expression est une somme de deux parties dont Tune, g, est constante, et l'autre, (f*~^^['n{g — i) — i], est le produit de deux facteurs g^~^^ et [n{g — i) — i] qui tendent en même temps que n vers Tinflui ; ce numérateur devient donc infini avec n ; et comme le dénominateur reste constant, leur quotient, ou la somme S envisagée a pour limite Tinfini lorsque n devient infiniment grand. On peut encore dire que les n progressions géométriques (1) sont toutes croissantes et, comme elles sont illimitées, que leurs termes croissent au delà de toute limite; il en résulte que les sommes de leurs termes respectifs tendent vers Finfini ainsi que la somme S de ces sommes.
2** 9 <C i . Dans ce cas les n progressions géométriques (i) sont toutes décroissantes, et comme elles sont illimitées, les sommes de leurs termes respectifs ont pour limites les expressions suivantes :
1 a première,
la deuxième,
la troisième, — - — ; et ainsi de suite.
La somme de toutes ces expressions a, de son côté, pour limite
H-qy
3o q = i. La suite proposée se réduit alors à la suite naturelle des nombres entiers,
lH-2-h3-h... ,
dont la somme devient infinie pour n infiniment grand.
255. X. Quels sont les quatre nombres en progression géométrique dont la somme des moyens est a et la somme des extrêmes b 1
Une méthode élégante et simple, due à Sturm, pour résoudre cette question, consiste à prendre pour inconnue x la demi-différence des moyens.
Posons a =■ ia' et représentons les deux moyens par m et fi, sous la condition n^ m\ on aura
et n-hm = 2a',
d'oii l'on lire n = a' -^x
et m = a' — X,
oî -f- X
La raison de la progression est —^ 1 le premier terme
a' -{- X ia' — xY de la progression, (a' — x) : — ou -^—7 > et le
quatrième terme, (a' + ar) •-; ou
L'équation du problème est dès lors
OU (6a' -h b)x^ = a!\b — 2a'),
a et, en y remplaçant a par sa valeur — >
a' (3a -h ô)ar« = - - (6 — a),
d OÙ Ton tire
Par hypothèse les nombres a et h sont positifs ; pour que les valeurs de x soient réelles et acceptables, il faut que Ton ait b>a\ mais ces deux valeurs de x ne constituent pas deux solutions distinctes ; les quatre nombres donnés par la racine négative sont ceux que fournit la racine positive disposés dans l'ordre inverse.
Si Ton avait 6 = a, les deux valeurs de x seraient nulles "et le problème n'admettrait pas de solution.
256. XI. Trouver trois nombres en progression géométrique dont la somme est a et la somme des carrés 6*.
Soient x, y ei z ces trois nombres ; les équations du problème sont les suivantes :
(3) if = xz.
Pour résoudre ce système, nous éliminerons y entre les trois équations qui le composent.
De la première, on tire
(4) y = a — (a? -h 2), d'où
En substituant à y* dans les équations (2) et (3) sa valeur tirée de Téquation (5) on obtient, après toutes simplifications faites, les deux équations du second degré à deux inconnues
x« -h 2» -h (or -h zy — 2a(a? -+.z)-^a^ = b^,
{x + 2)* — 2a(a? -4- s) -I- a' = xz,
dans lesquelles nous prendrons {x + z) et xz comme inconnues auxiliaires.
En ajoutant 2arz aux deux membres de la première de cae équations et en multipliant par 2 les deux membres de la seconde, on obtient les deux équations suivantes, qui leur sont respectivement équivalentes :
2(a? -+- zy — ia(x -4- z) -^ a» = fe^'-h 2xz ; 2(ar -h 3)2 — Aa{x -+- 2) 4- 2a« = 2x;.
En les retranchant membre à membre, la seconde de la première, on a
d ou (X +• z) = — »
et cette valeur de {x -+- s) portée dans Tune des deux équations précédentes donne pour xz
2a C'est aussi la valeur de y' d'après Téquation (3),
d'où y = — -z
Quant aux valeurs de x et de z — comme on connaît x-^i et az — elles sont données par l'équation du second degré
(6) u' un- = U.
Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que cette équation ait ses racines réelles et distinctes, différentes de zéro, et de même signe, leur produit y^ étant positif.
Les racines seront réelles et distinctes si Ton a
ou
Or, celte relation, dans laquelle le dénominateur 4a* est essentiellement positif, est satisfaite si Ton a à la fois
ëa^>b^ et 36* > a», c'est-à-dire 3a^>b^>\a\
ou 3a«<6* et 3ft»<a*, — 3a^<:b^<:^a\
Les deux dernières inégalités sont incompatibles, car b^ ne peut être en même temps plus grand que 3a* et plus petit que
Quant aux deux premières — qui sont acceptables — lorsqu'elles sont satisfaites les deux racines de l'équation (6) sont
de même signe, leur produit J — ) étant positif.
Mais il y a lieu de considérer en particulier le cas où l'on a b^ = a*, car le produit des racines de l'équation (6) est alors égal à zéro.
De là trois cas à examiner.
i° 3a*>6^>a*. L'équation (6) a ses deux racines distinctes, différentes de zéro et de môme signe : le problème admet donc une solution.
2o ft2 = a*. L'équation (6) a une racine égale à zéro et l'autre égale à a ; comme leur produit ou y^ est nul, on a aussi y = 0 : les trois nombres 0, 0 et a ne pouvant être trois termes consécutifs d'une progression géométrique, le problème est impossible.
3» a* > A* > — a*. L'équation (6) a deux racines distinctes,
différentes de zéro et de même signe ; le problème admet une solution.
En résumé, lorsque le problème est possible — et il l'est
pour toute valeur de b^ comprise entre 3a* et —a* à Texcep-
tion de la valeur particulière b^ = a^ — il n'admet qu'une solution, d'apparence double parce qu'on peut donner à x ou à z la plus petite des valeurs de w, et celte solution est représentée par les nombres suivants :
4a La raison de la progression est, dans le premier cas^
et dans le second,
„ ^ g» 4- ^>' — Afl' -i- 6^ )^ ~ 4( g^ — 6')« ^ 2(g« — ^2 j
Il est à remarquer qae le produit qîq" donne pour résultai Tunité, comme cela doit être, d'ailleurs, ces deux nombres étant Tinverse Tun de Vautre.
§ VIII. — Logarithmes.
257. 1. Exprimer la raison et le nombre des termes d'une progression géométrique dont on connaît le premier terme, le dernier et la somme des termes.
Les deux formules dont on a à se servir ici^
(1) / = aq^'\
(2) S = iî^, ^ ^ q — i
contiennent les deux inconnues 9 et n et permetteDt de les déterminer en fonction des trois quantités données a, / et S.
De (2) on tire
en introduisant cette valeur dans (1), il vient
d'où l'on obtient
log / = log a + (« - l)[log(S — a) — log(S - /)],
logZ — loga
P«i« «-i= ,og(s a)log(S-i)
et « = !-+-
log/— loga
log(S~a)-log(S-/)
258. II. Trouver un nombre entier x tel que le double de son logarithme vulgaire surpasse d'une unité le logarithme du nom-
hre X —
L'équation immédiate du problème est
21ogx = 'og(^ — "ïô") "^*' qui peut s'écrire
log »* = log ( x — — ) -4- log 10,
et, eu remontant de cette équation logarithmique à Téquation ordinaire génératrice,
ou j-* — lOar-i-9 = 0,
d'où Ton tire x = 5 riz 4,
ou x' == i, or* = 9.
Le problème admet deux solutions, l'une et l'autre acceptables.
259. III. Pour quelles valeurs de n les racines de l'équation
x> — 4a? -i- log n = 0
sont-elles réelles^ et quels sont les signes des racines pour ces
mêmes valeurs de n ?
1® Pour que les racines de Téquation soient réelles, il faut
et il su£Qt que Ton ait
A — log n > p, ce qui revient à
logfi <4,
ou ?i< 10000.
2o La somme des racines^ qui est ici 4, est positive ; si leur produit log n est positif, les deux racines seront positives.
Dans ce cas on aura
log n > 0,
d'où n > 1.
Si au contraire le produit des racines est négatif, les deux
racines seront Tune positive et Vautre négative. Dans ce cas
on aura
log n < 0,
d'où n < i;
Il résulte de tout cela que les deux racines de Téquatioa proposée seront toutes deux positives pour toutes les valeurs de n supérieures à i et inférieures à 10000 ; elles seront Tune positive et Vautre négative pour toutes les valeurs de n inférieures à 1, c'est-à-dire comprises entre 0 et i; enfin, si n = i, Téquation proposée devient x^ — ix = 0; elle a une racine nulle et Vautre racine est positive.
260. IV. Trouver la base du système de logarithmes dans lequel
le nombre 8 a pour logarithme — •
Il s'agit de trouver le nombre qui a pour logarithme Vunité.
De la relation
■|=log8 on obtient, en multipliant les deux membres de cette égalité
par-,
i = |-log8 = logy8\
La base du système proposé est donc le nombre
yS* ou 32.
Autre méthode. — En partant de la définition des logarithmes par la fonction exponentielle, si x est la base cherchée, on a
x^ = 8, ou, en élevant les deux membres de Véquation à la cinquième puissance,
et, en extrayant la racine cubique des deux membres de celle
dernière équation, __
i 261. V, Quel est le logarithme de 729 dans le système dont la
\ hase estZI
I Si l'on représente par x le logarithme de 729 dans le système envisagé, les deux progressions qui constituent ce système sont les suivantes :
■"• \ .«J» ••■« iitf, T'vl* &• •••• «V*
n s'agit donc de trouver dans la progression arithmétique le terme correspondant au nombre 729 considéré comme faisant partie de la progression géométrique.
Pour cela, cherchons d'abord le rang de 729 dans la première progression. A cet effet, et d'après la formule
/ = aq""-^, on a • 729 = 3«-*.
Or, 729 = 3%
d'où n — 1 = 6
et n = 7.
X est donc le 7« terme de la progression arithmétique, et comme le premier terme de cette progression est 0, que sa raison est i, son 7« terme est évidemment 6.
Le logarithme de 729 dans le système dont la base est 3 est donc 6.
Autre méthode. — En partant de la définition des logarithmes par la fonction exponentielle, on peut écrire immédiatement
ou 3' = 3S
d'où a: = 6.
Remarque. — L'équation peut encore se résoudre en prenant le logarithme ordinaire des deux membres :
X log 3 = log 729,
,, , log 729 2,86:273
a ou a: = — = — = 6.
log 3 0,47712
262 .VI. Une balle rebondit^ chaque fois qu'elle touche le sol^
aux — de la hauteur d'où elle est tombée ; si elle tombe la première fois d'une hauteur de 8», 10, après combien "de bonds s'élèvera-t-elle à i»,60?
La première fois qu'elle rebondit, elle monte à une hauteur de
la seconde fois^ à une hauteur de
S-^iOXgX- ou SMOx^g).
et en continuant à raisonner ainsi, on auraàécrire, si x représente le nombre de bonds, qu'elle s'élève à une hauteur de
8Mox(|y.
On a donc
ou
d'où a?(log2— log3) = logl6— logSl,
iogl6 — log81 0,20412—1,90849 ^ ^'' log2 — log3 ""0,30103 — 0,47712"" *
Dans cet exemple l'emploi des cologarithmes n'aurait pas simpliûé les calculs, tout au contraire ; c'est pour cela que nous n'en avons pas fait usage.
Remarque I. — On peut ici simplifier les derniers calculs en
remarquant que — est égal à ( tt ) ♦ ce qui donne immédiatement X = A,
Remarque H. — Pour que ce problème, qui exige un nombre entier comme solution, soit possible, il est nécessaire que les deux termes de la fraction à laquelle conduit la division de la hauteur finale par la hauteur initiale soient des puissances de même ordre des termes correspondants de la fraction donnée.
