IX. Résoudre le système d'équations suivant
(1) xy = y,
(2) ar" = y^.
En prenant le logarithme de chacun des membres de ces équations, on obtient le système suivant équivalent au premier:
y\ogx = X log y,
a logx = b log y.
KÉSOLUTION DE QUESTIONS 639
Si Ton divise ces deux dernières équations membre à membre^ il vient
d'où (3; y=^,
et en remplaçant y par cette valeur dans (2), on a
ou X^^ = (^J
Cette valeur de x introduite dans (3) donne
§ IX. — Intérêts composés.
266. Nous avons vu en Arithmétique ce qu'on entend par somme ou capital prêté, intérêt du capital^ et taux de Tintérét.
Nous avons dit que si le capital reste le même pendant toute la durée du prêt ou placement, l'intérêt est simple, proportionnel, par convention, au capital, au taux et à la durée du prêt; que si, au contraire, le capital s'augmente périodiquement de l'intérêt qu'il a produit à la fin de chaque période, l'intérêt est composé. Dans ce cas, si l'intérêt reste proportionnel au capital, il ne Test plus au taux et à la durée du prêt ; c'est ce qui ressortira des calculs suivants.
Dans les questions d'intérêts composés, le taux est l'intérêt de i^' pendant la période de temps après laquelle les intérêts se capitalisent, et cette période, qui est généralement d'un an, peut être aussi une fraction quelconque d'année : ces deux cas seront successivement examinés dans l'étude du problème général des intérêts composés.
Ce problème général peut être posé tout d'abord ainsi, en prenant Tannée pour unité de temps :
Exprimer ce que devient un capital a placé au taux r, à intérêts composés^ pendant n années.
Au bout d'un an le capital a, qui a produit un intérêt ar, devient a-f-ar ou a(i4-r). On obtient ainsi la valeur acquise par un capital donné, après un an de placement, en le multipliant par le binôme (1 H-rj. Il s'ensuit qu'au bout de deux ans, le capital considéré deviendra a(iH-r)*; au bout de trois ans, a{i-\-i'y ; et au bout de n années, a(l -h r)«. Si donc on représente ce résultat par A, on pourra écrire
(1) • A = a(i-hr)».
Il est à remarquer que si la période était différente d'une année, que r représentât le taux de l'intérêt pour cette période et n le nombre de périodes comprises dans la durée du placement^ on obtiendrait exactement la même formule.
267. Cas où la durée du placement n*e8t pas an nombre entier ^'années. — Imaginons que cette durée du placement se com-
pose de n années plus d'une fraction d'année égale à -^^ La formule précédente donne ce que devient le capital a au bout de n années; mais pour établir la valeur qu'acquiert ce
nouveau capital a(i -4-r)« au bout d'une fraction — d'année,
deux conventions peuvent être faites.
1*» Admettre que le capital a(l -+■ r)" est placé à intérêt
simple pendant un temps — d'année. Cet intérêt étant
a(l -+-?•)«. — r, le capital primitif a devient ainsi après un
P nombre d'années égal à n -f- — >
a(i -4- r)" -H a(i -+■ ry^r ou a(l -h r)4i -h — rV d'où cette autre formule :
(2) K = a[i^rf(i^Lr\
pr •
2* Admettre que la capitalisation des intérêts a lieu après
chaque période de temps égale à une fraction — d'année,
sous la condition que tout capital, par ce moyen, devienne encore au bout d'un an ce que donne la formule (1); end'autres
termes, si r' estle taux de l'intérêt pour la période — d'année,
que Ton ait
Cela posé, comme le capital est placé pendant nq -hp
périodes de — d'année, la formule (i), qui est ici applicable,
donne
A = a(iH-r')»'H-j',
ou A = a{i -H r') ^ 9 h
et, en remplaçant (1 -4- r'y par sa valeur (1 -j- r),
(3) A = aClH-r)""^^.
La comparaison des formules (2) et (3) est toute en faveur de la seconde, plus simple que la première et se prêtant beaucoup mieux aux calculs logarithmiques. C'est la seule adoptée par les banquiers. Elle présente pour eux cet autre avantage qu'elle donne pour A des valeurs un peu inférieures à celles delà formule (2).
Mais la formule (3) n'est autre que la formule (1) pour laquelle il suffit de convenir que n représente un nombre entier ou fractionnaire d'années. On peut même déduire de tout ce qui précède que la formule (1) est encore applicable au cas où la période est une fraction d'année, que r est le taux d'intérêt pour cette période, et que n représente un nombre entier ou fractionnaire de périodes. Aussi est-elle appelée \dL formule générale des intérêts composés. Nous nous en servirons exclusivement pour traiter les questions qui vont suivre.
Cette formule renfermant les quatre quantités A, a, /* et n, il est évident qu'elle peut donner la valeur de chacune d'elles lorsqu'on connaît les valeurs des trois autres. Dès lors, suivant qu'on prend l'une ou l'autre de ces quatre quantités comme
nAUZAT. — MéTHODOL. 41
inconnue, on a quatre problèmes différents sur les intérêts composés. Ce sont ces problèmes que nous allons tout d'abord résoudre.
268. I. Que devient au bout de 4 ans 4 mois un capital dp 3856'" placé à intérêts composés au taux de 5 Vo par an ?
De la formule (1) on tire
log A = log a -h- n log (1 -h r).
En appliquant cette relation aux données, on a
log A = log 3856 -h 4 4- log (1,05)
= 3,58614 + 0,09182 = 3,67796, d'où A = 4763^9.
269. II. Quel est le capital qui^ placé à intérêts composés, au taux de 4,5 Vo p»^ an^ devient 6930'*' au bout de 5 ans 6 mois?
La formule (i) donnant
log A = log a -h n log (1 -h r), on en tire
log a = log A — n log (1 -+- r),
ou loga = logA + ncolog(l 4-r).
En appliquant cette dernière relation aux données da la question, il vient
log a = log 6930 -h 5 i colog (1,045)
= 3,84073 -h 1,89484 = 3,73557, d'où a = 5439'%6.
Remarque. — La somme a s'appelle la valeur actuelle de la somme A; son expression, d'après la formule (1), est
270. III. A quel taux faut-il placer à intérêts composés un capital de 8000'^ pour qu'il devienne au bout de 3 ans 9 mois 10 000'^?
On a d'après la formule (1)
logA = loga-|-nlog(l -i-r);
00 tire de là
logA — loga
log (1 -h r) = — ^
ou log(4-}-r) =
n log A + colog a
En appliquant cette relation aux données du problème, on
obtient
, .^ , log 10000 -t- colog 8000
et
c'est-à-dire que le taux cherché est de 6,13 Vo.
271. IV. Au bout de combien de temps un capital de 7980'^ placé à intérêts composés au taux de 4,75 Vo joa^ «« sera-t-il devenu 9 myt
La même relation tirée de la formule (1),
log A = log a -h n log (l -h r), donne ici
logA — loga
"~ log(l-i-r)
ou n = ^QgA + <^Q^Qg^ ;
log(l-hr)
mais pour éviter une division de logarithmes, on peut encore écrire
logn = log (log A -4- colog a) 4- colog log (1-f-r).
En appliquant cette dernière relation aux donnéesprécédentes, on a
log n = log (log 9600 -h colog 7980) -f- cologlog (1,0475) = log 0,08027 -H colog 0,02015 = 2,90455-+- 1,69572 = 0,60027, d'où n = 3,9835 = 3 ans 11 mois 24 jours.
Comme application des questions précédentes, résolvons encore les problèmes suivants.
272. V. La population d'une ville se trouve annuelleineni augmentée de son -^ par les naissances et diminuée de son — par les décès. Quel temps faudra-t4l pour que la population de cette ville soit doublée ?
Si ^lous prenons comme unité la population actuelle de la ville, au bout d'un an cette population sera représentée par
'expressio n
* "^ 40 45 ' au bout de deux ans, elle deviendra
ou V^"^ 4Ô"'l5"/ '
et en continuant de raisonner ainsi, on aura comme expression
de la population au bout de 3 ans,
enfin, au bout du nombre cherché d'années, que nous désignerons par X, ^ ^ ^ ,^^
l*"^ 4Ô"~'45J ■ On aura donc pour équation du problème
<i'où (a:logi-^^-^) = log2
log2
log2
'et .T =
log
log 2
log 361 -h colog 360
= 249 ans.
273. VI. Deux capitaux a et a' sont placés à intérêts composés aux taux annuels respectifs de r et /. Quel temps faudrai'il pour que les valeurs acquises de ces capitaux soient égales ?
Remarquons d'abord que le problème n'est possible qu'autant que le plus petit taux d'intérêt s*applique au plus grand des deux capitaux.
Cela étant, et x représentant le nombre d'années cherché, 4'équation du problème sera
a(i-^ry = a'(l4-*^)'.
On en tire
log a -h ar log (1 -t- r) = log a'+x log (1 -+- /),
„ , loga' — loga
doù X = •
log( 1 -i- r) — log (1 -\- r)
274. VII. Deux capitaux a et a' sont placés à intérêts composés pendant des temps respectifs n et n'. Quel doit être le taux annuel d'intérêt pour que les valeurs acquises de ces capitaux soient égales au bout de ces temps ?
Ici encore nous ferons avant tout une remarque analogue à ia précédente, en disant que ce problème n'est possible qu'au-
tant que le plus petit nombre d'années représente la durée du placement du plus grand des deux capitaux.
Cela étant, et x représentant le taux annuel de Tintérèt pour 1^% nous aurons pour équation du problème
On en tire
loga-f-n log(i-i-a?) = loga'-h n'log(l H-ar),
d'où log(H-a:) = -^ ^
Cette dernière relation permet de calculer i-\-x\ du résultat on déduit x,
275. VIII. A quel taux faut-il placer à intérêts composés un capital de i40ff^ pendant 5 ans et un capital de 80(H' pendant 10 ans pour que la somme des valeurs acquises soit de 2698'',12 ?
En représentant par x le taux annuel de l'intérêt pour V% l'équation du problème sera
ou, plus simplement,
et, si l'on prend pour inconnue auxiliaire Tôxpression (1 -h j)S que Ton désignera par y, l'équation deviendra
ou 4t/2 4- 7y — 13,4906 = 0,
d'où l'on tire
ou, la racine négative ne convenant pas,
On a donc, pour en revenir à l'inconnue x de la question,
(l4-x)» = 1,1593, d'où 5 log (1 4- ar) = log 1 ,1 593
1 ,* N log 1,1593 0,06 419 ^^.^^. et log(l -t- a?) = ^ ' = --^ = 0,01 284.
On tire de là
d'où X = 0,03.
C'est donc au taux de 3 ^/o que les deux capitaux doivent être placés.
276. IX. Une personne en mourant lègue à ses trois yieveux^ qui ont respectivement S, a et 16 ans^ une somme de âOOOtf', de manière que les trois parts placées à intérêts composés au taux de 5 Vo par an constituent des capitaux égaux à la majorité des héritières. Quelle est la valeur actuelle de chaque part ?
Soient Xy y et z les trois parts actuelles; les données du problème conduisent au système de trois équations simultanées
x-hy-^ z = 20000,
ar(l,05)" = z(l,05)».
Des deux dernières, on tire
(i) y = (ifi^yx,
(2) z = {ifi^yx,
et en introduisant ces deux valeurs dans la première, il vient
X H- (l,05)*ir -H (l,Oo)«ar = 20000, ., . 20000 20000
u ou X = = .
Si l'on fait cette division par remploi des logarithmes, ce qui simplifie les calculs, on a
logar = log 20000 -+- colog 3,692 961
d'où Ton tire x = 5416.
Si dans les équations (1) et (2) on donne à x cette valeur,
on obtient successivement
et s^ = 8001.
Les trois parts sont exprimées en nombres ronds, à uq f ranc près, par défaut ou par excès.
277. X. Un capital de 10800''' est placé à intérêts composés; le taux de Vintérêt et la durée du placement sont tels que si celte durée était moindre d'un an la valeur acquise par le capital serait diminuée de 526'',63 ; si au contraire^ cette durée s'augmentait d'un an, la valeur acquise par le capital serait accrue de 546'^67. Calculer le taux de l'intérêt et le taux du placement.
Si Ton représente par x le taux de l'intérêt pour 1'*^ et par y la durée du placement, on a, d'après la formule (i), le système de deux équations simultanées suivant :
10800(1 4- x)y = 10800(1 -hx)y-' + 525,63,
10800(1 H-af = 10800(1+ x;*+« —646,67,
qui peut s'écrire
10800(1 '^x)yx = 546,67.
Par l'emploi des logarithmes, on lui substitue cet autre équivalent :
(1) log 10800+ (y — 1) log (1 + a?) + log x = log 525,63,
(2) log 10800 + 1/ log (1 + ar) + log .t = log 546,67.
En retranchant membre à membre ces deux dernières équations, la première de la seconde, il vient
log (1 + a?) = log 546,67 + colog 525,63
d'où l+a? = l,04
et X = 0,04 ;
le taux de l'intérêt est ainsi de 4 ^/o.
Portons cette valeur de x dans une des équations (1) ou (2),
la seconde de préférence, pour obtenir immédiatement y an lieu de y — 1 , et l'on aura
log 10800 -t- y log 1,04 + log 0,04 = log 546,67,
log 346,67 H- colog <0800 -t- colog0,04 ^ ^"~ logl,04
Au lieu d'effectuer cette division, on peut encore faire usage des logarithmes, et Ton a
logy = log 10224 H- colog 1703
d'où 2/ = 6.
Ce nombre représente la durée du placement. En résumé, le capital est placé au taux de 4 7o pendant 6 ans.
§ X. — Annuités.
278. Sous ce titre nous grouperons plusieurs sortes de questions que certaines analogies rapprochent, mais qui présentent cependant des différences nettement tranchées. Telles sont: laformation d'un capital, ou l'amortissement d'une dette par un nombre déterminé de versements périodiques, la constitution d'une rente temporaire par le placement d'un capital, etc.
Les versements et les paiements^ ainsi que la rente, sont généralement représentés par des sommes constantes ; le plus souvent ils sont annuels, mais ils peuvent être semestriels, trimestriels, ou fixés par d'autres périodes de temps.
Et dans toutes ces questions, on tient compte des intérêts composés des sommes empruntées ou versées.
Nous allons les examiner Tune après Tautre.
