Formation d*un capital • — Voici le problème

I. Quel capital C constitue-t-on en plaçant pendant n années consécutives à intérêts composés, au commencement de chaxjue année, une somme constante «, le taux de l'intérêt étant de r pour V' par an ?

Le premier versement, restant placé pendant n années, devient au bout de ce temps, d'après la formule (1) des intérêts composés,

a(i -f- rY ;

le deuxième, restant placé pendant (n — 1) années^ devient au bout de ce temps

en continuant ainsi, on trouve que les valeurs acquises par les versements successifs ont pour expressions

a(l -h rf, a(l -f- r)»"*, a{i -t- r)«-», . . . , a(l -+- r)

et sont les termes d'une progression géométrique décroissante. Le capital constitué C, étant la somme de tous ces termes,

on a

ou L = 1

ou mieux encore

^^ fl(i-^r)[(i-f-r)»~i]

On en tire logC = logaH- log(i H-r) + log[(i +r)'» — i] — logr.

Pour obtenir log [(l -i- r)'» — 1], on calcule d'abord (i H- r)'», puis [(1 -4- r)'» — 1] et les tables donnent ensuite le logarithme du résultat.

La formule (i) établit une relation entre les quatre quantités C, a, n et r ; elle permet donc de calculer Tune quelconque de ces quantités lorsqu'on connaît les trois autres. De

ià quatre problèmes différents, suivant que Ton prend comme

inconnue Tune ou l'autre de ces quatre quantités.

I Le premier de ces problèmes est le précédent ; les trois

jtQtres sont les suivants :

; 2ftO. II. Quelle est la valeur commune des n placements annuels qu'il faut effectuer au commencement de chaque année 'pour constituer un capital C, le taux de Cintérêt étant de r pour V' par an ?

La formule (i) donne loga = logC-hlogr— log(H-r)— log[(i-Hr)»» — i].

On a dit plus haut comment s'obtient le logarithme de 1(1 H- r)" - 4]. •

281, III. Combien faut-il de placements annuels de valeur commune a, effectués [au commencement de chaque annéCy pour eonsiituer un capital G, le taux de Vintérêt étant de r pour l'*" ■par an ?

De la formule (1) on obtient

d'où Ton tire

n log(l -i- r) = log [Gr -f- a(l -h- r)] — log a — log (1 H- r)

— ^Qg [Çy^ H- a(i -4- r)] — log fl — log (1 H- r)

log(l -f-r)

11 est à remarquer ici que le problème n'est possible, avec ses données numériques, qu'autant que n est un nombre entier. Toutefois, en prenant pour valeur de n la partie entière du quotient ou cette partie augmentée d'une unité, on aurait une solution approchée à une unité près par défaut ou par excès.

2S2. IV. A quel taux faut-il calculer les intérêts composés de n i^ersemenis annuels de valeur a effectués au commencement de chaque année pour constituer un capital G ?

La formule (1) ne permet pas d'obtenir immédiatement la

valeur de Tinconnue, parce que mise sous la forme entière elle donne Téquaiion en r du (n-h 1)« degré .

qui ne peut être résolue par les procédés de T Algèbre élé* m en taire. Mais on peut en tirer une valeur de Tinconnue, aussi approchée que Ton veut, par la méthode des approximations successives.

Pour cela, mettons la formule (1) sous la forme