C-hq (i-Hr)>>-^t--i a ~" r

et ren^arquons que le capital constitué après n années par des

placements annuels égaux à a, sera d'autant plus grand quô

G -+-a r sera plus élevé ; par conséquent l'expression »

où nous considérerons G comme une variable et a comme

une constante, variera dans le même sens que r, et il en sera

de même de son égale ^

Il suit de là que si, dans cette dernière expression, on donne

à r une certaine valeur quelconque, suivant que le résultat

numérique obtenu pour cette expression sera supérieur ou

inférieur à 1 la valeur attribuée arbitrairement à r

sera supérieure ou inférieure à la valeur cherchée. On pourra donc obtenir ainsi d'abord deux nombres quelconques qui comprendront entre eux la valeur réelle de r, puis, par des essais successifs, des couples de nombres de plus en plus rapprochés de cette valeur tout en la comprenant entre eux, et Ton s'arrêtera dans cette recherche au couple qui présentera entre ses deux nombres une difTérence aussi faible qu*on le désirera ; la demi-somme de ces deux derniers nombres donnera la valeur

de r avec une erreur moindre que leur demi-différence.

283. Attire mode de formation d'un capital. — Au lieu de considérer les placements annuels comme effectués au commencement de chaque année^ on peut les regarder comme

ectués à la fin, de manière que le capital à former se trouve constitué au moment même du dernier versement. Dans ce eas, on donne aux placements aonuels le nom d'annuités,

I Le problème est le suivant :

i 284. V. Quel capital G constitue- t-on pur le versement de n

mnnuiiés a, le taux de l'intérêt étant de r pour !'•' par an?

Celte question se résout comme le problème 1, en tenant

compte de ce fait que les versements restent placés ici un an

de moins ; il s'ensuit que le capital constitué après n années

a pour expression

ou (2) C = --^ ^ .

On en tire

log C = log a -f- log [(1 -H rY — i ] — log r.

Le calcul de log [(1 -h r)" — 1] a déjà été iodiqué.

Cette formule (2) établit une relation entre les quatre quantités C, a, n et r; elle permet donc de calculer Tune quelconque de ces quantités lorsqu'on connaît les trois autres. De là quatre problèmes différents, suivant que Ton prend comme inconnue Tune ou l'autre de ces quatre quantités.

Le premier de ces problèmes est celui que nous venons de résoudre. Nous allons étudier successivement les trois autres.

: 285. VI. Quelle est la valeur commune des n annuités à verser ! pour constituer un capital G', le taux de l'intfhêt étant de r pour \ V par an ?

De la formule (2) on tire

log a = log C -+• log r — log [(1 -4- ?f — 1].

286. VII. Combien faut-il d'annuités a pour constiturr un capital C, le taux de l'intérêt étant de r pour V'par an ?

La formule (2) donne

CV + a

(iH- r)» = ;

on en lire n log (1 4- r) = log (CV -ha)-— log a,

, log(CVH-a) — logg

d'où n = — ^~\ — r

log(i4-r)

Pour que le problème soit possible, avec ses données namériques, il faut que n soit entier; dans le cas contraire, on peut admettre que la dernière annuité est difTérente des autres et que n est donné par la partie entière du quotient précédent augmentée d'une unité.

287. VIII. A quel taux faut-il calculer les intérêts composée de n annuités a, pour constituer un capital C ?

La formule (2) ne permet pas d'obtenir immédiatement la valeur de l'inconnue, parce que mise sous forme entière elle donne une équation en r du n' degré,

a(i H- r)" — CV = a,

qui ne peut être résolue par les procédés de l'Algèbre élémentaire. Mais on peut en tirer une valeur de Tinconnue, aussi approchée que Ton veut, par la méthode des approximations successives.

Pour cela, on écrit la formule (â) sous la forme

G; (j+rY — i a r

et Ton procède exactement comme pour le problème IV.

288. Amortissement d'une dette. — On entend par amortissement d'une dette ou d'un emprunt le remboursement qui en est fait par un nombre déterminé de versements annuels ou d*annuités. Chaque annuité sert ainsi, pour une partie, à solder les intérêts de là dette, et, pour une autre partie, à rembourser une portion de cette dette.

Pour établir la relation qui existe entre la somme empruntée A, l'annuité a, le nombre d'annuités n et le taux r de l'intérêt, on exprime que la somme des valeurs acquises par les n annuités versées doit être égale à la valeur acquise au bout de n années par la somme A.

La somme A, après n années, devient A(l-f-r)», et la

somme des valeurs acquises par les n annuités est égale, d'après la formule (2), à

d'où la formule cherchée,

On pourrait établir cette relation en cherchant ce que devient la dette après le versement de chaque annuité. Après le premier versement, la dette est réduite à

après le deuxième, à Af 1 -h r)' — «(1 h- r) — a ;

après le troisième, à A(l -f- r)' — a(i 4- r)* — a(l 4- r) — a,

et en continuant ainsi, on a, après le n^ versement, la valeur

A(i -h rY — a[i 4- r)""* — a(i -+- r)'*--^ a(l -H r) — - «,

qui doit être nulle.

On peut donc écrire

A(iH-r)» — a(l-+-r)»-* — a(H-r)'»-* a(l-+.r) — a =0,

d'où l'on tire

relation qui reproduit la formule (3) par la transposition dans le second membre de la partie fractionnaire du premier.

Si l'on veut exprimer, pour chaque annuité, la part affectée à l'amortissement, on procédera comme il suit.

Soient a„ «„ aj, . . ., a„ les parts respectives des n annuités. Au bout d'un an, l'intérêt simple de la somme A est Ar, le premier amortissement est donc l'excès de l'annuité sur cet intérêt, c'est-à-dire a — Ar, ce qui nous montre sans aller

plus loin que a doit être supérieur à kr pour qu'il y ait amortissement. On a donc

a, = a — Ar.

Pendant la deuxième année, l'intérêt simple de la dette, réduite d'après ce qui précède à A(H-r)— a, est [A(l -hr) — a]r;

le second amortissement est donc a — [A(l -4- r) — a jr, ou (a — Ar)(i-f-r), et comme a — Ar est égal à a,, on a

a, = ofj(l-i-r).

Pendant la troisième année, l'intérêt simple de la dette, réduite à A(i-l-?-)* — a(l-+-r)— a, est [A(l-+-r)'— a(i-+-r)— a /; le troisième amortissement est donc a — [A(i-i-r)' — a(i-\-r)—an ou (a — Ar)(l -h r)*, c'est-à-dire qu'on a

«3 = ai(i+r)*.

En continuant ainsi, on obtient

et, finalement, a„ = ai(l -hr)'»~*.

Il est à remarquer que les amortissements successifs sont représentés par les termes d'une progression géométrique croissante dont le premier est a — Ar et la raison (i -h r) ; de plus, que chaque terme exprime la valeur acquise par le premier amortissement après un qombre d'années marqué par son rang diminué d'une unité. On peut s'assurer, en outre, qu'en faisant la somme de ces n amortissements on reproduit la dette A.

La formule (3) contient les quatre quantités A , a, n et r ; elle permet ainsi de calculer l'une quelconque de ces quantités lorsqu'on connaît les trois autres. On a donc sur J'amorlissement quatre problèmes différents suivant que Ton prend comme inconnue Tune ou l'autre de ces quantités. Les voici successivement :

289. IX. Quelle dette peut-on .amortir par le versement de n annuités a, le taux de Vintérèt étant de r pour \^^ par an ?

La formule (3) donne

logA = loga4-log[(l -4-r)"— 1] — nlog(lH- r) — logr.

290. X. Quelle est la valeur commune des n annuités iiécessaires pour amortir une dette A, le taux de Vintérèt étant de r pour V' par an ?

De la formule (3) on tire

log a = log A -+- ?i log (1 -+■ r) -h log r — log [(1 -+- r)" — !]•

29L XI. Combien faut 'il d^annuités a pour amortir une délie A, le taux de Vintérêt étant de r pour V' par an ?

En multipliant par r les deux membres de la formule (3), on obtient la relation

Ar(l -h r)" = a(l H- r)" — a,

qui peut se mettre sous la forme

(a — Ar)(l -f- r)» = a ; on en tire

log (a — Ar) -h n log(l -{-r) = log a,

log a — log (a— Ar)

d ou n = — ^— r — ,/^ ^ •

log (1 -h r)

Pour que le problème soit possible, il faut d'abord que la quantité a — Ar soit positive — condition déjà exprimée plus haut — car. les nombres négatifs n'ont pas de loga- Hthmes ; de plus, que n soit un nombre entier. — Si n n'est pas entier, on peut admettre que la dernière annuité est inférieure aux autres et prendre alors pour valeur de n la partie entière du quotient ci-dessus, augmentée d'une unité.

292. XII. A quel taux faut-il calculer les intérêts composés d'une dette A et des n annuités a destinées à amortir cette dette ?

La formule (3) ne permet pas d'obtenir immédiatement la valeur de r parce que mise sous la forme entière elle donne une équation en r du (n-h i)* degré,

Ar(l H- r)» = a(i H- r)" — a,

qui ne peut être résolue par les procédés élémentaires de l'Algèbre. Mais on peut en tirer une valeur de l'inconnue, aussi approchée que l'on veut, par la méthode des approximations successives.

Pour cela, mettons cette formule (3) sous la forme

a __ r(i -h rY T ~ (I -hr)» — l'

et remarquons que l'annuité nécessaire pour amortir une dette donnée A en n années est d'autant plus grande que le taux r est plus élevé, car les intérêts à servir sont augmentés et la

OAITEAT. — irtTHODOL. 42

' somme des amortissements reste constante ; par conséquent

l'expression —> où nous considérerons a comme une variable

et  comme une constante, variera dans le même sens que r

et il en sera de même de son égale 7--^^ — r — '—--'

Il suit de là que si dans cette dernière expression, on donne à r une certaine valeur quelconque, suivant que le résultat numérique obtenu pour cette expression sera supérieur ou

inférieur à -—» la valeur attribuée arbitrairement à r sera A

supérieure ou inférieure à la valeur cherchée. Partant de là, on continuera comme pour la résolution du problème IV.

Remarque. — Si l'amortissement avait pour objet d'éteindre une somme A' exigible seulement au bout de n années, on n'aurait pas à tenir compte des intérêts composés de cette somme, et alors la relation entre A', la valeur a d*une annuité, le nombre n d'annuités, et le taux r de Tintérét, se traduirait

parla formule

[a(i-hr)« — 1

qui n'est autre que la formule (2), et les quatre problèmes qu'elle fait entrevoir se résoudraient comme ceux qui ont tiré leur solution de la formule (2).

293. GoQstilutlon d'une rente temporaire. — Cette question peut s'énoncer ainsi:

XIII. Quelle somme B faut-il verser pour obtenir une rente annuelle a pendant n années, le taux de Viniérét étant r pour 1'' par an ?

Pour résoudre la question, il faut exprimer que la somme des valeurs acquises par les n annuités au bout de n années est égale à la valeur acquise par B après le même temps. On obtient ainsi une relation identique à la formule (3),

Ce problème et les trois autres qui s'y rattachent sont donc

semblables aux problèmes IX, X, XI et XII dé ratnortissement et se résolvent de la même manière.

Remarque I. — La somme B s'appelle la valeur actuelle de la rente annuelle a servie pendant n années. D'après (5) elle a pour expression

Remarque II. — Si dans cette dernière formule, mise sous la forme

^ = 7[*""(rT7r}

on fait croître n indéfiniment, — tend vers zéro et B

(i-f-rf

a pour limite — On en déduit

a = Br,

c'est-à-dire que la rente, dans ce cas, est égale à l'intérêt simple de la somme versée, et comme elle cesse d'être temporaire, n étant sans limite, elle est dite rente perpétuelle.

C'est le cas des rentes d'Ëtat consolidées; les annuités ne concourent pas à les amortir, elles peuvent même ne pas être amorties, mais lorsqu'elles le sont, c'est par d'autres moyens.

294. Gomme applications de ce qui vient d'être dit sur les annuités, nous donnerons encore les quelques problèmes suivants.

295. XIV. Une personne place d'abord à intérêts composés y au taux de r pour V' par an un capital a, puis elle l'augmente à la fin de chaque année d'une somme a'. Quel temps faudra- t-il pour que le capital ainsi constitué devienne égal à une somme A ?

Soit n le nombre d'années cherché.

Le capital à constituer se composera de la valeur acquise de la somme a après n années, augmentée du capital constitué par le placement en fin d'année de n annuités a' ; on aura

donc

A = a(i-hr "H --^^ -9

OU, en chassant le dénominateur r,

Ar = ar(l -f- r)" + a\i -+- r)" — a\ puis, en groupant les deux termes en (1 -t-r)'», "

{ar ■+■ a')(l H- r)*» = Ar + a',

d'où (1 H- r)»» = ^.

ar^ a

On tire de là

n log (1 -I- r) = log (Ar -+- a') — log {ar ■+- a'),

et, finalement

log (Ar -t- a') — log {ar + a')

log(l -f-r)

296. XV. On doit payer à la fin de chaque année^ pendant: 12 an.ç, une somme a, mais on préférerait remplacer cette annuité par un seul paiement à effectuer dans. A ans. Quel serait le montant de ce paiement , le taux de l'intérêt étant de r pour V^ par an?

L'équation du problème s'obtiendra en exprimant que le capital constitué dans 12 ans par ce paiement, c'est-à-dire 8 années après que le versement en aura été efifectué, est égal à la somme des valeurs acquises par les 12 annuités prévues. Soit X le montant du paiement cherché. D'après la formule générale des intérêts composés et la formule (2) de la constitution d'un capital, on a

On tire de cette équation

af(l-hrV« — 1]

r(l -+- ry

et l'emploi des logarithmes donne

log a; = log a -h log [(1 h- r)** — 1] — log r — 8 log (1 -h r),

d'où l'on obtient la valeur de ar.

Remarouji. — On aurait pu établir l'équation du problème en. exprimant que la valeur actuelle de x est égale à la somme des valeurs actuelles des 12 annuités, et l'on aurait eu, d'après les remarques du problème II des intérêts composés et da

problème XFII des amortissements,

(i-^ry " r(i4-r)'»

d'où Ton obtient, comme précédemment,

297. XVI. Une personne emprunte une somme a qu'elle doit amortir par deux paiements égaux b effectués respectivement au bout de 4 ans et de 8 ans. Quel est le taux annuel d'intérêt adopté ?

Exprimons que la valeur acquise par la somme a dans 8 ans sera égale à la somme des valeurs acquises des deux annuités à la même époque. La valeur acquise de a sera de

a(lH-r)»;

celle de la première annuité, versée dans 4 ans, sera

^(1 -4- r)«-* ou b{i -h ry ;

et celle de la deuxième annuité sera simplement fr, le verse» ment étant effectué à Texpiration de la huitième année. On aura donc la relation

«(l-hr)« = 6(i+r)*-i-6,

«de laquelle il s'agit de tirer la valeur de r en fonction de a et de 6.

Si Ton pose

on obtient l'équation du second degré

ax* = éa? -h é, ou ax^ — bx — b =0,

qui donne, la racine positive étant la seule acceptable.

On

pourra

donc(

écrire

ô 4- •ô* -H Anb 2a

b-h^b^-h^ab

et Ton obtiendra, par remploi des logarithmes,

4 log (1 H- r) = log [b -h •ô» -h Aab ] — log la,

d où log (4 -h /•) = — 2J: '- 2

Connaissant log(l-i-r), on en déduira 1-hr, puis r.

298. XVII. Un même emprunt pouvant être amorti par m annuités a ou par n annuités a\ calculer le taux de Vintérêt dans le cas où l'on a m = 3n.

D'après cet énoncé, pour que le problème soit possible, il faut que Ton ait a' ^ a.

Représentons par A la valeur de l'emprunt; d'après la formule (3) de Tamortissement, on a successivement

A(l -\- ry* = -^ ^ ^,

et en divisant ces deux relations membre à membre,

et, comme les deux expressions entre crochets du second membre sont divisibles Tune par l'autre^

a'{i -+. ryn = a[{l + r^ H- (1 H- rY -+■ 1], ou^ en fais.ant passer tous les termes dans le premier membre,

C'est de cette relation qu'il s'agit de tirer la valeur de r.

Pour cela, posons

et nous aurons Téquation du second degré

(a' — a)x' — ax — a = 0, qui donne, la racine positive étant seule acceptable,

__ a-h )/a{Aa' — 3a)

On a dès lors

et, en faisant usage des logarithmes,

n log (1 -f- r) = log [a -+- v/(4a' — 3«)] — log 2 — log (a' — a),

. /i . N log [g + ^W — 3fl)] — log 2 — log {a' — a) log(i +r) = —^ j^ •

Connaissant log (4 -h r), on en tire (1 -4- r), puis r.

299. XVIII. Quel est le montant d'une rente annuelle payable vendant n années^ dont la valeur actuelle eut égale à celle d'une renie a payable pendant m années ?

Soit X la rente cherchée. En exprimant que les valeurs acluelles des deux rentes sont égales (problème XIII, Remarque I), on a l'équation

x[{i^rY—i] __ ar(iH-r)"*~iJ

qui donne

par l'emploi des logarithmes on obtient

logo? = log a -h (n — m) log (i -h r) -^ log [(1 -h r)^ — 1]

— log[(l4-r)» — i], d'où Ton déduit la valeur de x,

300. XIX. Une personne verse à une compagnie d'assurances^ pendant n années consécutives, une somme a, sous la condition que le capital ainsi accumulé lui sera remboursé au moyen de 2 n annuités a\ dont la première lui sera payée un an après son ne versement. Quel doit être le nombre n pour que le rapport

- soit égal à k, le taux de Vintérêt étant de r pour 1'^ par an ?

D'après la formule (2) relative au second mode des placements annuels, le capital formé au moment du n» versement

est

et c'est cette somme qu'il s*agit d'amortir par le moyen de în annuités a' en commençant un an après le dernier versement a. La formule (3) relative à l'amortissement permet alors

d'écrire

on en tire

a' [(iH-r)» — l](i + r)

tn

a ou, en remplaçant — par sa valeur donnée k et simplifiant Je

ex

second membre,

^- (H-r)«« • Cette relation mise sous forme entière donne la suivante :

qui permet d'obtenir la valeur de l'inconnue n. Pour cela,

posons

et la relation précédente deviendra l'équation du second degré

A:x» — a: - I = 0, qui donne, la racine positive étant la seule acceptable,