SUR LES DÉRIVÉES ET LEUR APPLICATION A L'ÉTUDE DE QUELQUES FONCTIONS

301. Définitions. — Soit y = f{x) une fonction algébrique quelconque de la variable or. On sait qu'à chaque valeur de la variable correspond une valeur de la fonction. Si donc Toa considère deux valeurs voisines x et x-{-h de la variable, à ces valeurs correspondront les deux valeurs de la fonction y = f[x) et y-^kz=if(x-\-h)', h et k sont appelés les accroissements respectifs de la variable et de la fonction, et ces

accroissements peuvent être séparément positifs ou négatifs.

k Cela dit, considérons le rapport y de raccroissement de

la fonction à Taccroissement de la variable. Si, h tendant vers zéro, ce rapport tend vers une limite bien déterminée, cette limite s'appelle la dérivée de la fonction y pour la valeur x de la variable.

On peut donc écrire, lorsque le rapport — a une limite L,

e étant une quantité variable qui tend vers zéro en môme temps queX^» et Ton tire de cette égalité la suivante :

fc = yi(L-+-e),

<ltii montre que k tend vers zéro en môme temps que hy ce qui revient à dire qu*une fonction y = f[x) n'admet une

dérivée, pour une valeur donnée de la variable ar, qu'autan

que cette fonction est continue pour cette valeur.

Mais il ne résulte pas de là, lorsque A* et h tendent simul-

k tanément vers zéro, que le rapport ^ * toujours une limite.

Toutefois, si dans ces conditions ce rapport tend vers l'inliniment grand, on dit aussi que la fonction admet une dérivée qui est infiniment grande.

Ajoutons ici que la dérivée d'une constante est égale à zérOy car dans une fonction constante Taccroissement qui correspond à un accroissement quelconque de la variable est toujours nul.

La dérivée d'une fonction y = f{x) est elle-même une fonction de la même variable, qui admet généralement une dérivée, et cette dérivée de la dérivée s'appelle la dérivée seconde de la fonction y = f[x), La dérivée seconde, à son tour, est une fonction de x, qui admet en général une dérivée à laquelle on donne le nom de dérivée troisième de la fonction y = f(x), et ainsi de suite. On distingue la dérivée proprement dite d'une fonction des dérivées seconde, troisième, etc. en rappelant dérivée première ; mais, quand on dit simplement dérivée, c'est toujours d'elle qu'il s'agit.

On désigne la dérivée première par l'une des notations f{x) ou y', la dérivée seconde par f\x) ou y\ etc.

Pour donner un exemple de dérivée première et de dérivée seconde, considérons la fonction

y = ax^ -i- 6a? -i- c.

Si l'on donne à x un accroissement A, la fonction y prend un accroissement /;, et Ton a

y -I- /: = a{x -h Kf -H 6(a? -h A) H- c ; en retranchant ensuite, membre à membre, la première de ces relations de la seconde, il vient

A- = "-lahx -h èA 4- «A«,

k d'où T- = 2ax H- 6 4- aA.

Cette relation montre que si Ton fait tendre A vers zéro, le

terme ah tend aussi vers zéro ; on obtient dès lors

lim -r- = 2aa? -+- b.

2aar + b est la dérivée première de la fonction considérée ; le

fait s'indique en écrivant

ij' = 2aar -+- b.

Si dans cette fonction t/' on donne à x un accroissement Ai,

il en résulte pour la fonction un accroissement A/, et Ton a

j/ -h /îi s= 2a(a? -h /il) H- A.

En retranchant, membre à membre, la précédente relation de cette dernière, il vient

ki = 2a A,,

Al

Al

2a est une constante qui est égale au rapport t- pour toutes

Al

les valeurs de Ai et les valeurs correspondantes de ki ; elle

lui est donc encore égale lorsque h^ tend vers zéro ; il s*ensuit

qu'elle est la dérivée de la fonction y' et par conséquent la

dérivée seconde de la fonction y. On traduit le fait en écrivant

302. Représentation géométrique de la dérivée. — Reprenons la fonction y = f{x) et construisons (fig. 22) la courbe

AB représentative de cette fonction, en prenant pour abscisses les différentes valeur^ de X et pour ordonnées les valeurs correspondantes de y.

Considérons sur cette courbe deux points M et M' voisins l'un de l'autre, ayant respectivement pour coordonnées (a;„y,) et {x^ -H A, t/, -+- A), et menons la sécante MM'. D'après ce qui a été dit (80) sur la représentation graphique de l'équation d'une droite, la corde MM' aura une équation de la forme

Fig. «2.

668 ALGÈURE

y = aa: -+- A,

et comme cette équation doit être vérifiée parles coordonnée des deux points M et M', on aura les deux relations

y, = axi + 6, yi -h A = a(zi -H A) -h A,

qui donnent^ en retranchant membre à membre la première Aï

la seconde,

k = aA,

ou a = -j-f

ce qui revient à dire que la corde MM' a pour coefGcient angu-

laire le rapport — des deux accroissements de la fonction

y =zax -h b et de sa variable a:, en d*autres termes, la

rapport

MT'— MP ITQ

OP' — OP " MQ '

Cela jposé, si l'on fait tendre A vers zéro, autrement dit si 1 e point M' se rapproche indéfiniment du point M, le rapport

-r- tend vers sa limite, qui est la dérivée de la fonction

y = f{x), en même temps que la sécante MM' tend à prendre la position de la tangente à la courbe au point M. D'une manière générale, en effet, on définit la tangente à une courbe en un point donné la position limite que prend une sécante à la courbe, passant par ce point donné, lorsqu'un second point d'intersection, dans son rapprochement du premier, vient à se confondre avec celui-ci.

Il résulte de là que la dérivée d*une fonction y = f(x\ pour une valeur donnée Xi de la variable, est représentée géométriquement par le coefficient angulaire de la tangente à la courbe représentative de la fonction, au point qui a pour abscisse xi.

C'est ce qu'en Trigonométrie on appelle la tangente Irigonométrique de Tangle que fait avec Taxe des x la tangente géométrique.

303. €:alciil des dérivées. — Le calcul des dérivées des fonctions pepose sur des propositions dont les principales sont les mi van tes :

I. La déinvée d'une somme de plusieurs fonctions d'une même isariable, qui admettent chacune une dérivée ^ est égale à la som me des dérivées de ces fonctions,

La somme de fonctions y = u -^ v -h tv ^, pour dérivée y' = u' h- v' -h w\

II. La dérivée d'un produit de plusieurs fonctions d'une même variable, qui admettent chacune une dérivée^ est égale à la somme des produits obtenus enremplaçant successivement dans le produit donné chaque fonction par sa dérivée.

Le produit de fonctions y = uvtv ^ pour dérivé y' = u'viv -4- uv'w -h iiviv'.

De ce théorème on déduit le corollaire :

La dérivée d'une puissance entière et positive d'une fonction ,qui admet une dérivée est égale au produit de l'exposant de cette puissance par cette puissance e Ile-même ^ dont l'exposant est idiminué (Tune unité, et par la dérivée de la fonction.

La puissance de fonction y = u"^ ; a pour dérivée y' = mu"^~Hi\

Sur ce même théorème II on peut appuyer la démonstration du suivant :

III. La dérivée du quotient de deux fonctions d'une même \ variable^ qui admettent chacune une dérivée, est égale à une fraclion qui a pour numérateur le produit de la dérivée du numérateur par le dénominateur ^ diminué du produit de la dérivée du dénominateur par le numérateur, et pour dénominateur le carré du dénominateur du quotient proposé.

Le quotient de deux fonctions

,, . , u'v — v'u a pour dérivée y =

On déduit de ce théorème le corollaire suivant :

La dérivée d'une puissance entière et négative d'une fonction qui admet une dérivée est égale au produit de l'exposant négatif de cette puissance par cette puissance elle-même^ dont l'exposant est diminué d'une unités et par la dérivée de la fonction.

La puissance de fonction

y = u-« a pour dérivée y' = — mu~^~^u\

En rapprochant ce corollaire de celui du théorème II, oa voit que ta règle à suivre est la même pour calculer la dérivée d'une puissance entière d'une fonction, que l'exposant de la fonction soit positif ou négatif.

Cette règle permet d'établir la proposition suivante :

IV. La dérivée de la racine cairée d^une fonction qui admet une dérivée est égale au quotient de la dérivée de la fonction par le double de la racine carrée proposée ^ sous la condition que la fonction soit différente de zéro.

La racine carrée de fonction

u' a pour dérivée y' = 'TT^ '

304. Théorèmes relatifs à l'étude des variaUons des fonctions. — Avant de passer à l'application des dérivées à Fétude des variations de quelques fonctions, il est indispensable de connaître certains théorèmes dont les suivants sont les principaux:

I. Une fonction dont la dérivée est constamment nulle est une fonction constante.

II. Une foïîction f(x) dont la dérivée est positive pour x = x, est une fonction croissante pour a? = a?i ; si la dérivée est négative^ elle est une fonction décroissante,

III. Réciproquement, si une fonction f{x) croissante pour X = Xi admet une dérivée^ cette dérivée est positive ou nulle pour X = Xi; si la fonction est décroissante^ la dérivée est négative ou nulle.

IV. Une fonction f(x) qui admet une dérivée et qui est maximn ou minima pour x = Xi a sa dérivée nulle pour x = Xi.

V. Réciproquement, une fonction f{x) est maxima ou minima pour X ^ Xx suivant que la dérivée s'annule pour a? = j?j en passant^ dans le sens croissant de Xy de valeurs positives à des valeurs négatives ou de valeurs négatives à des valeurs positives.

305. Si l'on représente graphiquement la dérivée d'une fonction f{x) lorsque cette fonction passe par un maximum ou un minimum on obtient, au point n>aximum ou minimum de la courbe figurative de la fonction, une tangente parallèle à Taxe des x.

Mais il ne serait pas vrai de dire que lorsque la tangente à la courbe figurative d'une fonction est parallèle à Taxe des x la fonction passe toujours par un maximum ou un minimum. Si la dérivée d'une fonction f{x) s'annule, en effet, pour une cer-

Fig. 23. Fig. U.

taine valeur de x en conservant après ce passage le signe qu'elle avait avant, il n'y a ni maximum ni minimum et le fait se traduit géométriquement par l'une des deux figures 23 ou 24 suivant que la dérivée, en dehors de ^a valeur zéro, reste positive ou négative. Le point M de la courbe où la tangente est parallèle à l'axe X'X et traverse cette courbe est un point d'inflexion.

Un point d'inflexion peut se trouver sur la courbe représentative d'une fonction Y(x) sans que la tangente soit en ce point parallèle à l'axe des x ; c'est lorsque la dérivée f'{x) passe, pour la valeur correspondante de la variable, par un maximum ou un minimum. Dans ce cas, la valeur x, de x pour laquelle ce maximum ou ce minimum a lieu est celle qui annule, d'après le théorème IV (304), la dérivée de f'{x), si elle en

admet une, autrement dit la dérivée seconde de la fonclioo f{x). D'autre part, ce maximum ou ce minimum, qui est ici le coefficient angulaire de la tangente au point d'inflexion, est donné parla valeur que prend la dérivée f'{x) pour or = Xj.

Réciproquement, si la dérivée seconde d'une fonction f{x) s'annule en changeant de signe pour une valeur Xi de la variable, la dérivée première présente un maximum ou un minimum pour cette même valeur Xi et la fonction présente une inflexion au point correspondant.

Enfin, si Ton représente graphiquement la dérivée d'une fonction f{x) lorsque cette dérivée devient infiniment grande, on obtient une droite parallèle à Taxe des y, dont le point de contact avec la courbe figurative de la fonction est rejeté à Tinfini. Cette droite est dite une asymptote de la courbe (*).

306. Applications. — L'étude des variations d'une fonction y == f{x) se fait en cherchant d'abord les intervalles dans lesquels la fonction est définie et continue, puis, pour chaque intervalle, le sens de la variation de la fonction. Â cet edet^on détermine les valeurs remarquables de x, celles qui limitent ces intervalles, au moyen desquelles on obtient les valeurs correspondantes de la fonction.

Parmi les valeurs remarquables de x^ notons les racines des

équations f{x) = 0 et — — = 0, qui rendent respectivement nulle et infinie la fonction; les racines de l'équation f\x) = 0, si la fonction aâmet une dérivée, ces racines pouvant indiquer des maxima, des minima ou des inflexions; les racines de l'équation f\x) = 0, si la fonction admet une dérivée seconde, ces racines pouvant indiquer des inflexions; enfin, les valeurs x — — oo et a? = -+-<». On facilite singulièrement l'étude d'une fonction en construisant sa courbe représentative ; on ajoute alors aux valeurs particulières de X précédemment indiquées la valeur x = 0, pour laquelle la valeur correspondante de la fonction donne Tordonnée du point où la courbe rencontre l'axe des y,

(*) Voir Géométrie théorique.