II. Étudier les variations de la fonction

X*— 2ar-+-3

x-hi Remarquons tout d'abord que cette fonction est continue

pour toutes les valeurs de a? à l'exception de la valeur x = — i

qui annule son dénominateur.

iP» — 2j? H- 3 équation

n'a pas de racines.

Celles de l'équation — = 0,

ou sont

a/ = — 00 , x" = — 1 et x" ::=

La fonction y ayant une dérivée égale à

(2a? — 2)(a: H- 1) — (ar« — 2x -h 3)

l'équation

{x-^-iY

ou à

a pour racmes

xt == — i— v^6,

Xg —

Si Ton dispose par ordre de grandeur croissante les valeurs remarquables de x que nous venons de trouver, on a la suite

— oo, (-i-v'ê), -1, (-1 + ^6), +00,

qui permet de calculer Iqs valeurs correspondantes de y et de \fy et d'étudier dans chacun des intervalles qu'elles déterminent la variation de oes fonctions y et y[. Le tableau suivant résume la discussion et les résultats obtenus :

décroît

décroît

croit

-2(/6'4-2)max.

décroît

décroît

2(|/6"— 2)min.

croit

La représentation graphique de ces variations donne la courbe {fig. 26), à quatre branches infinies AB, AC, A'B', A'C, qui présente un maximum au point A', un minimum au point A, dont les deux branches AB et MG ont pour asymptote la droite GH d'équation x = — 1, et dont les branches AC et A'B' ont pour asymptote une droite DD' oblique aux deux axes des coordonnées. C'est une hyperbole.

La droite GH est bien Tasymptote des deux branches AB et A'C, car si Ton considère un point M pris sur A'C, par exemple, l'étude de la fonction montre que lorsque le pied P de l'ordonnée de ce point se rapproche d'une manière continue du point I, d'abscisse — 1, y augmente en valeur absolue d'une manière continue et tend à devenir infiniment grand, et comme la distance MQ du point M à la droite GH est représentée à chaque instant par la longueur PI, on peut dire, en renversant les termes du raisonnement, qu'au fur et à mesure que M s'éloigne indéfiniment de X'X sur la branche A'C\

sa distance à la droite GH tend à devenir nulle. On démontrerait de même que la branche AB a pour asymptote la même droite.

Fi{{. 26.

Quant à la droite DD', on peut en déterminer la position et montrer qu'elle est asymptole aux deux autres branches AC

et A'fi' de la manière suivante. Si, reprenant la fonction donnée

x« — 2ar-|-3 y = — 9 on divise le numérateur du second mem-

bre par son dénominateur et qu'on poursuive la division jusqu'à ce que le reste soit d'un degré inférieur au diviseur, on peut mettre cette fonction sous la forme

y = ar-3-4--— -;

ce qui signifie que la coarbe figurative de la fonction peut être construite en traçant d'abord la droite qui a pour équation

et en portant, pour chaque point à déterminer^ au-dessus de

cette droite la longueur Or, si Ton considère la bran-

che AC, il est à remarquer que la quantité j va sans

cesse en diminuant et tend vers zéro au fur et à mesure que x, partant de — 1, augmente indéfiniment. La droite (1) est donc asymptote à cette branche de courbe AC. Par un raisonnement analogue, on démontrerait qu'elle est aussi asymptote à la branche A'B'. Or cette droite (i), que nous représentons par DD' sur la figure, est facile à construire, car elle a pour coefficient angulaire le coefficient de x dans son équation, en d'autres termes Tunité, ce qui revient à dire qu'elle est parallèle à la bissectrice de l'angle YOX ; d'autre part, le point E où elle rencontre Taxe YY' est donné par la longueur y = — 3 tirée de Téquation (i) dans laquelle on fait x égal à zéro.

Le point F où la courbe BAC rencontre Taxe YY' est donné par la valeur y = 3 de la fonction dans laquelle on fait x = 0,