décroît

— |— (min.)

croit

décroît

NOTE SLR LES DÉBIVÉES

La représentation graphique de ces variations donne la

courbe C'B'ABG (/î^;. 27),. à deux branches infinies BC, B'C,

qui présente un minimum au point B', on maximum au point

B, et un point d'inflexion en A, car la dérivée seconde de la

fonction

s'annule pour la valeur de x égale à I , abscisse du point A,

et qu'elle change de signe dans le passage de x par cette

Fig. 27.

valeur. Quant au coefficient angulaire de la tangente DD' à la courbe en ce point, il est égal à la valeur que prend la dérivée première de la fonction pour x = i, c'est-à-dire à 4. Enfin le point E, où la courbe rencontre Taxe YY\ est donné par la valeur y = — 3 que prend la fonction lorsqu'on y fait x égal à zéro.

1. La Géométrie est la science de retendue figurée, autrement dit la science des figures considérées dans leur forme, leur situation et leur mesure.

Les figures géométriques sont des conceptions de Tesprit, des perfections idéales des formes réelles, sur lesquelles on raisonne pour découvrir des vérités mathématiques qui conviennent ensuite d'autant mieux aux figures matérielles que celles-ci sont moins différentes des premières. Tandis que les formes géométriques réelles sont très limitées, il peut y avoir une infinité de figures géométriques. « L'espace est pour le mathématicien une sorte de milieu intérieur et idéal, un monde de formes dont il est le créateur. 11 dit à sa manière : Que les figures soient, et les figures sont. Le fiai magique qui les évoque à l'existence, sa puissance créatrice, c'esl l'activité synthétique de son esprit(*). »

Dans cette branche des mathématiques, les définitions expriment parfois la génération des figures qu'elles ont pour but de définir, comme la suivante : la sphère est le volume engendré par un demi-cercle dans une révolution entière autour de son diamètre. Ces définitions sont les meilleures que Ton puisse donner des figures géométriques parce qu'elles en énoncent « le caractère essentiel primitif et irréductible, celui duquel tous les autres dérivent (*). » Quand elles ne sont pas conçues sous cette forme, la possibilité géométrique des figures définies n'est pas toujours évidente, et c'est la raison pour laquelle il nous parait alors indispensable de faire suivre immé-

(*) Alexis Bertrand. — Principti de philosophie scientifique et de philosophie morale, {*) Liard. — Des définitions géométriques et des définitions empiriques.

diatement la définition de Texemple, le plus souvent d'une proposition qui la justifie.

Diderot considère la Géométrie comme « la meilleure et la plus simple de toutes les logiques, la plus propre à donner de Tinflexibilité au jugement et à la raison. » Bossut dit, de son côté, que (c les propositions spéculatives subsisteront toujours comme un des moyens les plus propres à développer et à faire connaître toutes les forces de Tintelligence humaine. »

2. La Géométrie pure, c'est-à-dire envisagée en dehors de ses nombreuses applications, comprend la Géométrie ancienne^ celle d'Euclide, et la Géométrie moderne. Celle-ci se distingue de la première surtout « par la généralité, l'uniformité et l'abstraction de ses méthodes(') ». Dans leur application, ces méthodes, dites de transformation^ permettent de déduire des propriétés de certaines figures, en en suivant les variations, d'autres propriétés qui se rapportent aux figures dérivées des premières, de façon que propriétés et figures dans le second cas sont respectivement corrélatives des propriétés et des figures qui ont servi de point de départ. La Géométrie moderne peut ainsi « créer à volonté des vérités géométriques sans nombre (^). »

Dans la Géométrie ancienne, (c chaque méthode ne corn-* portait rien de général et se bornait à la question particulière qui y avait donné lieu ; chaque courbe connue^ et le nombre en était très restreint^ avait été étudiée isolément, et par des moyens qui lui étaient tout spéciaux^ et sans que ses propriétés et les procédés qui y avaient conduit, servissent à découvrir les propriétés d'une autre courbe (*) » .

C'est de la Géométrie ancienne dont il sera surtout question ici. Nous consacrerons le dernier chapitre théorique à donner un aperçu des principes et des méthodes de la Géométrie moderne, et dans la partie pratique nous résoudrons un certain nombre de questions à l'aide de ces mêmes méthodes.

(') Chasles. — Aperçu historique.