NOTIONS ET VÉRITÉS PREMIÈRES DE LA GÉOMÉTRIE

§ I. — Généralités.

3. Après avoir reçu de Tobservation des corps la notion de l'espace occupé par chacun d'eux, lequel s'appelle retendue en volume^ Tesprit distingue par abstraction celle de la limite de ces volumes ou de retendue en surface^ celle de la limite d'une surface ou de l'étendue en longueur^ ou de la ligne^ enfin celle de la limite d'une portion de ligne ou du point et qui ne comporte aucune idée d'étendue.

4. Grandeurs géométriques. — Le volume, la surface et a ligne sont des grandeurs géométriques.

Conçues indépendamment des corps, ces trois sortes d'étendue peuvent être considérées comme formées par le concours de trois éléments essentiels, l'espace indéfini, le point et le mouvement ; un point mobile décrira une ligne, une ligne engendrera une surface, et une surface engendrera un volume.

Un quelconque de ces éléments géométriques, point, ligne, surface, volume, ou l'ensemble de plusieurs considéré comme invariable dans sa forme, reçoit le nom 'de figure géométrique.

684 GÉOMÉTHIE ÉLÉMENTAIRE THÉORIQUE

5. Grandeurs égales. — La coïncidence exacte par superposition de deux grandeurs géométriques de même espèce (deux lignes, deux surfaces ou deux volumes) donne la notion de Yégalité de deux grandeurs, autrement dit de deux lignes égales^ ou de deux surfaces égales ^ ou de deux volumes égaux.

Mais si deux grandeurs de même espèce sont telles que Tune d'elles peut coïncider dans son entier avec une partie seulement de l'autre, on dit que la seconde est plus grande que la première et que la première est plus petite que la seconde. Cette coïncidence partielle d'une grandeur avec la totalité d'une autre de même espèce caractérise Vinégalité des deux grandeurs que Ton envisage.

Cette superposition des figures est la méthode géométrique générale de comparaison.

§ II. — Ligne.

6. Ligne droite. — La plus simple de toutes les lignes est la ligne droite, qu'on nomme plus simplement droite et que certains auteurs définissent, à tort : Le plus court chemin d*un point à un autre. Cette définition est, en effet, vicieuse, parce qu'on ne peut définir une chose que par lexpression de ses rapports avec d'autres connues, précédemment définies. M. Duhamel (*) dit fort justement : « Qu'entend-on, en effet, par une ligne plus grande qu'une autre ? C'est celle qui se compose d'une partie égale à la première et d'un reste quelconque. Or, deux lignes égales sont celles qui peuvent coïncider, et par conséquent l'égalité ne peut être conçue entre ' deux lignes dont la figure ne se prête pas à la Superposition. Quelle idée peut-on se faire alors de cette définition donnée au commencement même de la science, lorsque l'on n'a pu encore faire savoir ce que l'on appelle lignes d'égale longueur, dans le as où il ne peut y avoir coïncidence? Nous rejetons donc entièrement cette définition, qui a encore l'inconvénient de ne donner

(^) Des méthodes dans leg sciences de raisonnement.