Théorèmes relatifs au plus petit commun multiple

Les propositions suivantes sur- le plus petit commun multiple soDt utiles à connaître ; elles se déduisent de ce qui précède :

I. Tout multiple commun à plusieurs nombres est un multiple de leur plus petit commun multiple.

II. Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux est leur produit.

m. Si Von multiplie ou si Von divise plusieurs nombres par un même facteur, leur plus petit commun multiple est multiplié ou divisé par ce facteur.

IV. Les quotients du plus petit commun multiple de plusieurs » nombres par chacun de ces nombres sont premiers entre eux dans

leur ensemble y et" réciproquement.

V. Le plus petit commun multiple de n nombres est égal à leur produit divisé par le plus grand commun dioiseur de leurs produits n — i à n — 1.

Remarque. — Ce dernier théorème fournit un deuxième procédé pour trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres.

^ IV. — Nombres premiers.

84. Un nombre premier absolu^ d'après la définition qui en a été donnée, est premier avec tout nombre qu'il ne divise pas. Et du fait que tout nombre qui en divise deux autres divise leur différence, on déduit que deux nombres consécu-

tifs quelconques qui n'ont pour diiTérence que Tunité sont premiers entre eux .

Quand on parle de nombres premiers absolus, on dit (oui simplement^ pour simplifier le langage, nombres premiers^ sans autre épithète distinctive, tandis que pour les autres on dît nombres premiers entre eux dans leur ensemble ou deux h deux.

L'existence des nombres premiers est mise en évidence par C3 théorème :

Tout nombre plus grand que i admet au moins un diviseur premier autre que V unité,

La théorie élémentaire des nombresjpremiers consiste généralement dans la démonstration des propriétés suivantes que nous diviserons en deux groupes.

85. Théorèmes relatif» aux nombres premiers. — l. La suite des nombres premiers est illimitée,

II. Tout nombre premier qui divise un produit de plusieurs facteurs divise au moins l*un de ces facteurs.

III. Tout nombre premier qui divise une puissance d'un nombre divise ce nombre^ et réciproquement.

IV. Si deux nombres sont premiers entre eux, leurs puissances de degrés quelconques sont premières entre elles^ et récipro- "

quement.

V. Tout nombre premier avec chacun des facteurs d'un produit est premier avec le produit^ et réciproquement.

VI. Tout nombre divisible séparément par plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux est divisible par leur produit.

Ce dernier théorème permet d'établir des caractères simples de divisibilité par certains nombres tels que 6, 12, 15, 36, etc.