Théorèmes relatifs aux nombres non premiers. — VII

Plusieurs nombres qui ne sont pas premiers entre eux dans leur ensemble admettent un diviseur premier commun autre que l'unité.

VIII. Tout nombre qui n'est pas premier est un produit de facteurs premiers.

^X. Un nombre n'est décomposable que d'une seule manière en facteurs premiers.

X. Pour qu'un nombre soit divisible par un autre ^ il faut et il sufit qu'il contimine chaque facteur premier de cet autre avec un exposant au moins égal à celui dont il est affecté dans le

nombre diniseur. «

XI. Pour qu'un nombre soit une puissance déterminée d'un autre, il faut et il suffit que les exposants de ses facteurs premiers soient des multiples du degré de la puissance donnée.

vi V. — Applioations des nombres premiers.

87. I. Former ane table de nombres premiers. — Comme on n'a pas encore trouvé de loi ou de formule qui comprenne tous les nombres premiers à Texclusion de tout autre nombre, on résout la question en écrivant les uns à la suite des autres^ sur plusieurs lignes parallèles, tous les nombres naturels inférieurs à la limite qu'oq veut assigner à la table et l'on y barre, en parlant de Tunité, tous les multiples des nombres premiers successifs 2, 3, 5, 7, etc., en commençant pour chacun d'eux par son carrée ses multiples inférieurs ayant disparu comme multiples des nombres premiers précédents. L'opération est terminée lorsque le carré du nombre premier dont on veut barrer les multiples est plus grand que la limite supérieure de la table. Les nombres qui restent sont évidemment tous lés nombres premiers inférieurs à cette limite.

On sait que cette opération porte le nom de crible d'Ératosihène.

88. II. Reconnaître si un nombre donné est premier ou ne l'est pas. — Le procédé élémentaire que l'on emploie et qui repdbè sur le théorème VIII, énoncé plus haut, consiste à essayer la division du nombre donné, successivement par chacun des nombres premiers inférieurs à celui dont le carré est immédiatement supérieur à ce nombre donné. Si aucune des divisions ne réussit, le nombre est premier; dans le cas contraire, il ne Test pas.

89. 111. Décomposer un nombre donné en ses facleiits pi miers. — Un nombre n'étant décomposable que d'une seule manière en facteurs premiers, quel que soit le moyen employé pour opérer cette décomposition, il conduira.nécessairement au but proposé. Celui auquel on a généralement recours consiste, en s'aidanl de la connaissance des caractères de divisibilité, à chercher successivement quels sont les nombres premiers, en commençant parles plus petits, qui divisent le nombre donné, et à faire la division chaque fois et autant de fois qu^elle est possible par un même nombre premier ; Tassai du nombre premier suivant ne porte que sur le dernier quotient obtenu, et l'opération est terminée lorsqu'on*arrive à un quotient que Ton reconnaît être lui-même un nombre premier. L'ensemble des diviseurs trouvés et de ce dernier quotient donne la solution du problème.

Exemple : 3960 = â^xS^XSXii.