CHAPITRE II

§ I. — Mesure des droites.

12. On a vu en Arithmétique (94) qu'on donne le nom de grandeurs mathématiques à toutes les grandeurs mesurables directement ou par réduction, et que mesurer une de ces grandeurs c'est la comparer à une autre de même nature, arbitrairement choisie, à laquelle on donne le nom d'unité de mesure.

La possibilité de définir Tégalité et Taddition de deux grandeurs de même espèce caractérise les grandeurs mathématiques, car elle a pour conséquence la comparaison et partant la mesure de ces grandeurs.

il résulte de là et de ce que Ton sait déjà sur la droite que les droites sont des grandeurs mathématiques.

13. Mesure d'un segment de droite. — Pour mesurer un segment de droite, on y porte autant de fois qu'elle peut y être contenue la longueur que Ton a prise pour unité, ou bien, au besoin,, une de ses parties aliquotes. Trois cas peuvent se présenter :

i** Si le segment de droite à mesurer contient un nombre exact de fois Tunité, ce nombre exprime la mesure cherchée;

2** Si le segment de droite n'est pas égal à un nombre exact d'unités, mais s'il contient exactement un certain nombre de fois une partie aliquote de l'unité, la mesure du segment de droite est exprimée par un nombre fractionnaire qui a respectivement pour numérateur et pour dénominateur les

DACZAT. — MÉTHODOL. 4 f

nombres de fois que la partie aliquote de Tuoité est contenue dans le segment et dans l'unité ;

3^ Si le segment de droite n'est pas égal à un nombre exact de parties aliquotes de l'unité, quelque petites qu'elles soient, on dit que le segment de droite est incommensurable avec Tunité choisie. Dans ce cas, si l'on considère une suite de longueurs commensurables avec l'unité, toutes inférieures (ou supérieures) à la longueur incommensurable donnée, et indéfiniment croissantes (ou décroissantes), on appelle, par extension de sens, mesure de la longueur incommensurable la limite vers laquelle tend la série des mesures respectives des longueurs commensurables lorsque celles-ci tendent vers la longueur incommensurable donnée. On sait que cette mesure est exprimée par un nombre irrationnel.

En effectuant ces mesures au moyen du compas, quelque perfectionné que soit cet instrument, on obtient toujours un nombre entier ou fractionnaire comme résultat, parce que Iw longueurs cessent d'être perceptibles au-dessous de certaines limites.

Dans la pratique, on mesure un segment de droite isolé en prenant pour unité le mètre ou les unités secondaires qui en dérivent, et en faisant intervenir, au besoin, le dixième de la plus petite unité, par l'emploi d'un vernier linéaire.