Plus grande commune mesure de deux segments de droite

— En Géométrie, on a moins souvent à mesurer un segment de droite qu'à exprimer le rapport de deux segments. Dans ce cas on cherche la plus grande commune mesure de ces deux longueurs en suivant la marche établie pour le calcul ^a plat grand commun diviseur de deux nombres. A cet eiTet, oa retranche la plus petite longueur de la plus grande autant de fois qu*elle peut y être contenue; s'il n'y a pas de resté, ta plus petite longueur est la plus grande commune mesure cherchée ; s'il y a un reste, on le retranche de la plus petib} des deux longueurs données autant de fois qu'il peut y ètrecoo tenu ; s*il n'y a pas de nouveau reste , le premier est la plus grandi commune mesure ; s'il y a un deuxième reste, on le retrancha

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dn premier autant de fois qu'il peut y être contenu et Ton continue ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à un teste nul ou qu'on s'aperçoit que les deux longueurs proposées n'ont pas de commune mesure.

Lorsque ces deux longueurs sont données graphiquement» on opère avec des instruments; il en résulte qu'on Unit par se trouver en présence de longueurs pratiquement inappréciables en raison de leur petitesse et que Topération se termine.

Mais lorsque les deux longueurs sont dans une dépendance déterminée Tune par rapport à Tautre, il peut arriver, comme pour la diagonale et le côté du carré, que l'opération ellemême par la manière dont elle est faite en indique l'incommensurabilité commune.

Si les deux longueurs ont une commune mesure, leur rapport est égal au quotient des deux nombres qui expriment respectivement combien chacune d'elles contient de fois cette commune mesure que Ton prend pour unité. Ce quotient est généralement un nombre fractionnaire ; il est un nombre entier si, dans la comparaison de la plus grande longueur à la plus petite, celle-ci se trouve être la plus grande commune mesure des deux.

Si les deux longueurs sont incommensurables, leur rapport, dans la comparaison de la plus grande à la plus petite, et en prenant celle-ci pour unité, est exprimé par le nombre irrationnel qui mesure la première longueur, incommensurable avec l'unité (Arithm., 138).

^ n. — Angles.

15. Angles adjacents. — Deux angles qui ont h la fois même sommet et un côté commun, s'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun, reçoivent le nom d'angles adjacents. Cette position des deux angles n'est autre que celle qui résulterait de leur addition.

t6. Droites perpenâionhiires. — Lorsqu'une demi-droite rencontre, parle point qui la limite dans un sens, une droite

indéûnie, elle forme avec celle-ci deux angles adjacents. Si ces deux angles sont égaux, on dit que la demi-droite est perpendiculaire sur la droite ; dans le cas contraire, on dit qu*elle est oblique'. Le point commun à la demi-droite et à la droite est, selon le cas, le pied de la perpendiculaire ou de Toblique.

17. Angle droit. — Un angle dont Tun des côtés est perpendiculaire sur l'autre porte le nom d'angle droit.

18. On démontre sur les angles et les droites perpendiculaires les premiers théorèmes qui vont suivre.

I. Par un point d'une droite, on peut mener à cette droite, d'un côté donné, une demi-droite perpendiculaire et l'on nepeul en mener qu'une.

Cette proposition a pour conséquence ou corollaire cette autre :

7'ous les angles droits sont égaux.

Ce qui revient à dire que 1 angle droit est invariable de grandeur. Cette propriété essentielle et caractéristique l'a fait adopter comme terme de comparaison ; c'est à l'angle droit que Ton compare tous les autres.

Selon qu'un angle est plus petit ou plus grand qu'un angle droit, on lui donne le nom d'angle aigu ou d'angle obtus.

Lorsque la somme de deux angles est égale à un angle droit l'un quelconque de ces angles est dit le complément de l'autre, et les deux angles qui se complètent l'un l'autre à un angle droit sont appelés angles complémentaires (').

II. Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en li^ne droite ont leur somme égale à deux angles droits^ et réciproquement.

De la proposition directe se déduisent les deux corollaires: 1° La somme de tous les angles consécutifs formés dans un

(') Contrairement i\ ce que Ton trouve généralement dans les ouvrages (ie Géométrie, nous définissons le complément d'un angle avant de définii" les angles complémentaires. L'idée de complémeat étant contenue dans celle d'anj^'ies complémentaires, la première doit logique:iient précéder I* seconde dans Tordre d'acquisition de nos connaissances.

plan autour d*un point d'une droite et d'un même côté de cette droite est égale à deux angles droits.

2» La somme de tous les angles consécutifs formés dans un plan tout autour d'un même point est égale à quatre angles droits.

De la réciproque on obtient le corollaire :

Deux demi-droites perpendiculaires à une droite en un même point et de chaque côté de cette droite^ sont le prolongement l'une de l'autre.

La droite formée par les deux demi-droites est dite perpendiculaire à Tautre, et la seconde, perpendiculaire à la première.

Il suit de ce corollaire que par un point d'une droite on peut mener à cette droite une perpendiculaire indéfinie de part et d'autre de la droite et qu'on ne peut en mener qu'une.

Lorsque la somme de deux angles est égale à deux angles droits, Tun quelconque de ces angles est dit le supplément de Tautre, et les deux angles sont appelés pour cette raison angles supplémentaires (^) .

III. Par un point pris hors d'une droite on peut mener une perpendiculaire à cette droite et l'on ne peut en mener qu'une.

Ce théorème et Tantéprécédent peuvent se fondre dans le suivant :

Un point détermine une perpendiculaire à une droite donnée.

19. Angles opposés par le sommet. — Si deux angles sont tels que les côtés de Tun sont les prolongements des côtés de Tautre au delà du sommet, ils sont dits opposés par le sommet.