IV. Deux angles opposés par le sommet sont égaux

20. Bissectrice d'un angle. — La demi-droite qui partage un angle en deux parties égales s'appelle bissectrice de Tangle.

V. Les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires 9<mt perpendiculaires entre elles.

(t) Observation analogue à celle du Th . ( .

VI. Les bissectrices de deux angles opposés par le sommet s(mt

le prolongement Vune de l'autre.

On déduit de ces deux théorèmes le corollaire suivant: Les bissectrices des quatre angles formés par deux droites qui

se coupent forment deux droites perpendiculaires Vune à Vautre,

t$ m. — Triangles.

21. Polygone. —On donne le nom de polygone à toute figure formée par une suite de portions de droite ayant chacune une direction différente de celle qui la précède et constituant par leur ensemble un circuit fermé. Ces portions de droite sont les côtés du polygone, et leur somme en est \e périmètre. Les points où les cotés se limitent entre eux et les angles que ces côtés forment consécutivement deux à deux sont respectivement les sommets et les angles du polygone. Toute droite qui joint deux sommets non consécutifs du polygone est une diagonale,

La ligne formée par le périmètre d'un polygone est une lignf brisée ou ligne polygonale. Une ligne brisée est fermée si elle est le contour d'un polygone ; elle est ouverte s'il manque un ou plusieurs côtés à ce contour.

Si tous les côtés d'une ligne polygonale sont dans un même plan, cette ligne est plane ; dans le cas contraire, elle est gauche. Un polygone est aussi plan ou gauche^ selon quMl correspond au premier ou au second cas.

Il ne sera question dans ce qui va suivre que de lignes polygonales et de polygones plans.

Une ligne polygonale plane et un polygone plan sont dits convexes lorsqu'ils sont tout entiers d'un môme côté de chacune des portions de droite qui les forment, prolongées indéfiniment.

On démontre qu'une droite du plan d'une ligne polygonaU convexe ne peut rencontrer cette ligne en plus de deux points.

Quelques polygones ont reçu des noms qui rappellent lenombre de leurs côtés ou de leurs angles. Ainsi, on désigne parles expressions de triangle, quadrilatère^ pentagone, hexagone, hef tagone^ octogone, etc., les polygones de 3,4, 5, 6, 7,8 côtés, etc.

22. THangle. — Le triangle est le plag simple des polygones. On l'appelle $calène s'il a ses trois côtés inégaux, ùocèle^ s'il

a deux côtés égaux, et équilatéral, s'il a ses trois côtés égaux .

Un triangle qui à un angle droit porte le nom de triangle rectangle ; le côté opposé à Fangle droit s'appelle hypoténuse.

Les trois perpendiculaires menées des trois sommets d'un triangle sur les côtés opposés sont les trois hauteurs du triangle, et chaque côté, considéré par rapport à la hauteur correspondante, prend le nom de hase. Dans un triangle iso* cèle, on donne plus particulièrement le nom de base au côté qui n'est égal à aucun des deux autres.

Les trois droites qui joignent les trois sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés sont les trois médianes du triangle.

Si Ton prolonge dans un même sens circulaire les trois côtés d'un triangle, on forme en chacun de ses sommets deux angles» soit six angles au total, dont trois situés à Tintérieur du triangle et trois à l'extérieur; pour les distinguer» les premiers sont dits les angles intérieurs du triangle, et les autres, les angles extérieurs.

Les bissectrices des angles intérieurs et des angles extérieurs d'un triangle, limitées les unes et les autres aux côtés opposés, sont appelées bissectrices intérieures et bissectrices extérieures du triangle.

23. Nous ferons reposer la théorie générale des triangles sur les deux propositions suivantes relatives au triangle isocèle .

I. Dans un triangle isocèle les angles opposés aux côtés égaux sont égauxy et réciproquement.

La démonstration qu'on donne de ce théorème met en évidence les vérités qui suivent :

!*• Un triangle isocèle est superposable à lui-même après retour^ nement ;

2* Un triangle équilatéral est équiangle^ et réciproquement.

II. Dans un triangle isocèle^ la bissectrice de Vangle formé par les deux côtés égaux est à la fois une hauteur et une médiane du triangle.

24. Égalité des triangles. — Deux triangles sont dits égaux lorsqu'ils sont superposables, c'est-à-dire lorsque, placés Tun sur l'autre, ils peuvent coïncider. Comme un triangle est formé de six éléments, trois côtés et trois angles, deux triangles égaux ont nécessairement leurs six éléments égaux deux à deux et pris dans le même ordre, ce qui donne six conditions auxquelles satisfont ces deux triangles. Inversement» deui triangles sont égaux si les six éléments de Tun sont respectivement égaux aux six éléments de Tautre.

Toutefois, pour afQrmer que deux triangles sont égaux, il n'est pas nécessaire d'être assuré que les six conditions auxquelles ils sont subordonnés sont satisfaites ; Tégalité de certains éléments convenablement choisis entraîne celle des autres et par suite celle des deux triangles eux-mêmes. C'est ce qu'exprime le triple théorème suivant, qui traduit ce qu'on appelle les trois cas généraux d'égalité des triangles :

III. Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont: !• un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun; 2° un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun ; 3** les trois côtés égaux chacun à chacun. Les deux premiers cas se démontrent par la superposition des deux triangles. Pour le troisième, on procède par juxtaposition après retournement de l'un des deux triangles {fig, 1);

en joignant ensuite par une droite A A'

yTs" les deux sommets A et A' situés de

N. part et d'autre du côté commun BC

__\g des deux triangles ABC et A'BC, on

/^ forme deux triangles isocèles ABA' et

/ ACA', d'où l'on déduit la perpendicula-

^ rite des deux droites BG et AA', par

^*s- *• suite l'égalité des angles en B, par

exemple, et finalement celle des deux triangles.

Il ressort ainsi de cette triple proposition que sur les six conditions contenues dans l'égalité de deux triangles, trois suffisent pour entraîner les trois autres et par suite cette éga-

lilé des deux triangles ; mais il faut que ces trois conditions soient groupées de façon à comprendre dans chaque triangle : soit un côté et les deux angles adjacents, soit deux côtés et Tangle qu'ils forment, soit les trois côtés.

La théorie de Tégalité des triangles trouve surtout son application dans la démonstration, très fréquente en Géométrie, de Tégalité de deux segments de droite ou de deux angles. Pour cela, on cherche à faire entrer les deux segments ou les deux angles en question dans deux triangles dont on puisse prouver Tégalité par leurs autres éléments, pour en déduire ensuite celle des côtés ou des angles envisagés.

25. Relations entre les côtés et les angles des triangles. — Dans un même triangle, ou dans deux triangles qui satisfont à certaines conditions^ il existe entre les angles, entre les côtés, et entre les angles et les côtés, des relations qui sont Tobjet des théorèmes qui suivent.

IV. Si dans un iriangle on prolonge un des côtés, l'angle extérieur formé est plus grand que chacun des angles intérieurs non adjacents.

V. Si deux côtés d'un triangle sont inégaux^ les angles opposés sont aussi inégaux, et au plus grand côté est opposé le plus grand anglcy et réciproquement.