VI. Dans un iriangle

l^ un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres ;

2® un côté quelconque est plus grand que la différence des deux autres.

De ce dernier théorème on déduit qu'on ne peut pas toujours construire un triangle avec trois segments quelconques de droite ; il faut que le plus grand soit moindre que la somme des deux autres, ou, ce qui revient au même, que le plus petit soit supérieur à la différence des deux autres.

Ce même théorème a pour conséquences immédiates les corollaires suivants :

1« Un segment de droite est plus court que toute ligne brisée aifant mêmes extrémités que le segment.

2® Une ligne polygonale convexe est plus petite que toute ligne polygonale enveloppante ayant mêmes extrémités que la première.

Ainsi se trouve établi que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre^ lorsqu'on ne considère que des chemins exclusivement composés de lignes droites. Ce principe sera étendu plus loin aux lignes courbes.

30 Une ligne polygonale convexe est plus petite que toute ligne polygonale qui V enveloppe de toutes parts.

"VII. Si deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun et si les angles compris entre ces côtés sbnt inégaux, les troisièmes côtés sont aussi inégaux; et au plus petit angle est opposé le plus petit côté^ et réciproquement.

Le raisonnement que Ton suit pour démontrer la réciproque de ce dernier théorème, et que Ton a déjà utilisé pour laréciproque du théorème V précédent, consiste à passer en revue toutes les hypothèses possibles ; il est très souvent employé en Géométrie et il permet dès à présent de formuler la règle importante qui suit :

Si dans une proposition ou dans une série de propositions, Vexamen de toutes les hypothèses possibles conduit à des conclusions respectives distinctes et exclusives, les réciproques des propositions démontrées sont toutes vraies.

§ nr. — PerpèndicoUiires et Obliques.

26. I. Si d'un point pris hors d*une droite on mène la perpendiculaire et diverses obliques à cette droite :

!•* La perpendiculaire est plus courte que toute oblique ;

2* Deux obliques dont les pieds sont à égale distance de celui de la perpendiculaire sont égales ;

3" Deux obliques dont les pieds sont à des distances inégales de celui de la perpendiculaire sont inégales^ et la plus longue est celle pour laquelle cette distance est la plus grande ; et réciproquement.

La perpendiculaire étant ainsi la plus courte des lignes qu'on puisse mener à une droite d'un point extérieur, c'est elle

LIGNE DKOITE 699

qne Ton prend pour exprimer la distance d'un point à une droite^ et cette distance est alors représentée par le segment de la perpendiculaire compris entre son pied sur la droite et le point extérieur.

II. Tout point d^la perpendiculaire menée par le milieu d'un segment de droite est équidisiant des deux extrémités de ce segment, et réciproquement.

Cette propriété que possèdent seuls tous les points de cette perpendiculaire, d'être équidistants des deux extrémités du segment de droite, caractérise ce qu'on appelle en Gréométrie un lieu géométrique ou plus simplement un lieu. On donne, en effet, ce nom à toute figure dont tous les points jouissent^ à Texclusion de tout autre, d'une propriété commune.

Partant de là, on énonce encore ainsi le théorème précédent :

La perpendiculaire menée par le milieu d*un segment de droite est le lieu géométrique des points équidistants des deux extrémités de ce segment.

Lorsqu'on veut établir qu'une figure est le lieu géométrique des points qui jouissent d'une certaine propriété, on démontre : i** que tout point de la figure jouit de cette propriété ; 2® que tout point extérieur à la figure n'en jouit pas, ou bien que tout point qui en jouit fait partie de la figure.

Cela revient à démontrer deux propositions, Tune directe, l'autre réciproque ou contraire de la première. En général, on préfère l'emploi de la réciproque à celui de la contraire, pour éviter de nouvelles constructions . Les deux procédés s'équivalent en raison de ce fait déjà énoncé que la réciproque et la contraire d'une même proposition sont toujours vraies ou faussesen même temps {Introd.y 9).

27. Égalité des triangles rectangles. — De ce qu'il y a dans un triangle rectangle un élément invariable de grandeur, l'angle droit, il s'çnsuit qu'une des trois conditions à remplir par les triangles quelconques pour être égaux est ainsi satisfaite quand il s'agit de l'égalité des triangles rectangles, et que deux conditions réunissant des éléments convenablement

choisis, pris en dehors des angles droits, deviennent alors suffisantes. C'est ce qu'établit la double proposition suivante :

m. Deux triangles rectangles sont égaux :

\^ Lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un angle aigu égal;

i^ Lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un côté de l'angle droit égal.

Elle traduit ce qu'on appelle les cas particuliers d'égalité des triangles rectangles. Complètement indépendante de celle qui se rapporte aux triangles en général, elle n'en est ni une conséquence, ni une particularité

Lieu géométrique des points équidistanU de deux droites qui se coupent. — La théorie des triangles rectangles permet d'établir la proposition qui suit :

IV. Le lieu des points d'un plan équxdistants de deux droites qui se coupent comprend les deux droites bissectrices des quatre angles formés par les deux droites données.

§ V. — Parallèles.

28. On dit que dt3ux droites sont parallèles lorsque, situées dans un même plan, elles ne se rencontrent < pas, à quelque distance qu'on les prolonge.

L'existence des droites parallèles nous est prouvée par la démonstration du théorème suivant :

I. Deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles.

De cette proposition on tire le corollaire :

Par un point pris hors d'une droite ^ on peut mener une parallèle à cette droite.

Ici, Ton admet comme vrai que par un point pris hors d'une droite^ on ne peut mener qu'une parallèle à cette droite.

Cette proposition est un postulatum qui remplace généralement celui d'Euclide dans l'établissement de la théorie des parallèles. On a reconnu, en effet, Timpossibilité de déduire

cette théorie de Tensemble de la définition des parallèles et des vérités précédemment admises ou démontrées.

Le postulatum d'Ëuclide, ou mieux son axiome XI, était le suivant : Si deux droites coupées par une troisième font avec elle deux angles intérieurs situés d'un même côté de cette dernière, dont la somme soit inférieure à deux angles droits^ ces deux droites prolongées indéfiniment finissent par se rencontrer du côté des deux angles intérieurs considérés.

Ce postulatum et celui qu'on lui substitue d*ordinaire constituent deux propositions telles que l'une quelconque étant admise, Tautre est facilement démontrable. De sorte qu'il est IndiiTérent de prendre Tun ou Tautre comme théorème fondamental des parallèles.

De nombreuses tentatives, toutes infructueuses, ont été faites pour démontrer le postulatum d'Euclide, notamment par Legendre, c[ui après avoir cherché une démonstration directe, essaya de prouver, sans le secours des parallèles, que la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits, parce que le postulatum serait une conséquence de cette proposition.

Dans un ordre de recherches opposé pour ainsi dire à celui-ci, deux géomètres, l'un russe, Lobatschewsky, et Tautre hongrois, Bolyai, se sont demandé, chacun de son côté, vers la fin du premier tiers de ce siècle, ce que serait la Géométrie si le postulatum d'Ëuclide n'était pas vrai^ et ils ont établi, en partant de cette hypothèse, un ensemble de théorèmes qui constitue un nouveau système de Géométrie auquel on a donné le nom de Géométrie non euclidienne ou de Géométrie imaginaire. Dès 1792, le grand mathématicien Gauss était en possession de ces théories : c'est ce que nous a appris la publication de sa correspondance avec Schumacher dans laquelle il appuie de son autorité les travaux que nous venons d'indiquer. Enfin, Beltrami et Riemann, pour ne citer que ces deux noms, sont venus depuis très heureusement compléter les résultats acquis.

De l'ensemble de ces recherches il résulte que le postulatum

702 GÉOMÉTRIE ÉLÉ>IENTÀIRE THÉORIQUE

d'fiuclide n'est pas démontrable ; il faut l'admettre comme une vérité expérimentale. Hâtons-nous de dire que cette impossibilité n^entame aucunement la solidité de la théorie des parallèles.

Du postulatum de la parallèle unique menée à une droite par un point extérieur, on tire immédiatement cette conséquence :

Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.

II. Lorsque deux dimtes sont parallèles , toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

29. Égalité de certains angles. — Lorsque deux droites ABet CD {fig. 2) sont rencontrées par une sécante EF, elles forment

avec celle-ci huit angles auxquels on a donné des noms particuliers. On appelle : 1* angles altemes-iniemes, deux angles situés en dedans des deux droites, de part et d'autre de la sécante, et non adjacents, tels que c ete, d et f\ S^ angles altemes-erlemes, p\ deux angles situés en dehors des

Fig. 2. deux droites^ de part et d'antre

de la sécante, et non adjacents» tels que a et g, b et ^ ; 3** angles correspondants, deux angles situés l'un en dedans et l'autre en dehors des deux droites, d'un roéine côté de la sécante, et non adjacents, tels que a et e^d et à, ^ et /", c et g ; 4° angles intérieurs d'un même côté, deux angles situés en dedans des deux droites et d'un même côté de la sécante, tels que rf et e, c et /*; 5® angles extérieurs d'un métM côté^ deux angles situés en dehors des deux droites et d'an même côté de la sécante, tels que a et /<, 6 et j)f.

III. Deux droites parallèles i^encontrées par une sécante formenl généralement avec celte dernière quatre angles aigus et quaire angles obtus ; les angles aigus sont égaux entre eux, il en est de même des angles obtus^ et deux de ces angles^ l'un aigu et Havtf^ obtusy sont supplémentaires ; et réciproquement.

De cette double proposition se déduit le double corollaire :

Deux droites parallèles rencontrées par une sécante forment avec cette dernière :

1® des angles alternes-internes égaux ;

2® des angles alternes-externes égaux ;

3^ des angles correspondants égaux ;

4<> des angles intérieurs d'un même côté supplémentaires ;

5<> des angles extérieurs Hun même côté supplémentaires ; et réciproquement.

Ces deux dernières propositions^ réciproques Tune de Tautre, étant démontrées, il en résulte que leurs propositions contraires sont vraies, c'est-à-dire que : 1"^ si deux droites non parallèles sont rencontrées par une sécante^ les angles ne satisfont pas aux précédentes relations ; 2^ si deux droites rencontrées par une sécante ne forment pas des angles qui satisfont aux précédentes relations^ elles ne sont pas parallèles.

On tire de là les deux conséquences :

lo Deux droites l'une perpendiculaire et Vautre oblique à une troisième ne sont pas parallèles ;

2® Deux droites respectivement perpendiculaires à deux droites qui se coupent ne sont pas parallèles.

IV. Deux angles qui ont leurs côtés respectivement parallèles sont égaux ou supplémentaires. Ils sont égaux si les côtés parallèles sont dirigés deux à deux dans le même sens ou deux à deux en sens contraires ; ils sont supplémentaires si deux côtés parallèles sont dirigés dans le même sens et les deux autres en sens contraires.

V. Deux angles qui ont leurs côtés respectivement perpendiculaires sont égaux ou supplémentaires. Ils sont égaux s" ils sont en même temps aigus ou obtus ; ils sont supplémentaires si Vun est aigu et Vautre obtus.

§ VI. -- Somma des angles d'un polygone.

30. 1. La somme des angles d'un triangle quelconque est égale à deux angles droits.

On lire de ce théorème les corollaires qui suivent :

i^ Un angle extérieur d*un triangle est égal à la somme de$ deux angles intérieurs non adjacents ;

2<* Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle droit ou qu\m seul angle obtus ;

3° Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires ;

4^ Deux triangles qui ont deux angles égaux chacun à chacun ont aussi les troisièmes angles égaux ;

5* Deux triangles qui ont leurs côtés respectivement parallèles ou perpendiculaires ont leurs angles égaux chacun à chacun.

Le corollaire 4'' permet de donner au premier cas de Tégalité des triangles quelconques la forme plus générale :

Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont un côté égal et deux angles égaux chacun à chacun.

II. La somme des angles intérieurs d*un polygone convexe est égale à autant de fois deux angles droits qu^il a de côtés moins deu^,

m. La somme des angles extérieurs d^ un polygone convexe cM égale à quatre angles di'oits.

^ VII. — ParallélogramineB.

31. Dans le quadrilatère convexe on distingue les casparliculiers suivants :

1° Le trapèze, dont deux cùlés sont parallèles ;

â*» Le parallélogramme, dont les côtés sont parallèles deux à deux -,

3® Le rectangle^ dont les quatre angles sont égaux, et par suite droits, leur somme valant quatre angles droits (30, II) ;

4** Le losange^ dont les quatre côtés sont égaux ;

S'» Le carréy dont les quatre côtés sont égaux ainsi que les angles. Ceux-ci sont par suite droits comme ceux du rectangle.

Le carré est ainsi un rectangle et un losange à la fois. On dira plus loin que ces deux figures et le rectangle sont des parallélogrammes.

Les deux c<5tés parallèles du trapèze sont appelés les bases de cette figure; dans un parallélogramme, un rectangle, un losange et un carré, on désigne par le nom de base un côté quelconque.