I. Dans un parallélogramme
i° Les côtés opposés sont égaux ;
2* Les angles opposés sont égaux ;
*^^ Les angles adjacents à un même côté quelconque sont supplémentaires ;
4^* Les diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales ; et réciproquement.
De la première partie de ce théorème on déduit le corollaire :
Deux parallèles sont partout également distantes .
Dans un trapèze, la distance constante des deux bases est la hauteur du trapèze, et dans les autres figures qui précèdent, la distance constante de la base et du coté opposé est la hauteur de ces figures.
y^. Un quadrilatère dont deux côtés opposés sont égaux et parallèles est un parallélogramme,
I III. Un rectangle est un parallélogramme dont les diagonales \sont égales, et réciproquement.
IV. Un losange est un parallélogramme dont les diagonales sont:
i' perpendiculaires l'une à l'autre ;
2* bissectrices des quatre angles ; et réciproquement.
11 y a lieu de faire ressortir ici que la réciproque de la seconde partie de ce théorème est vraie pourvu qu'une diagonale soit bissectrice des deux angles du parallélogramme dont elle joint les som'mets ; la seconde diagonale est alors nécessairement bissectrice des deux autres angles.
De ce que le carré est un rectangle et un losange, on déduit de Tensemble de ces deux dernières propositions et de leurs réciproques, les conséquences suivantes :
!• Un carré est un parallélogramme dont les diagonales sont égales, perpendiculaires l'une à Vautre et bissectrices des angles ;
DAl'ZAT. — MfrrBODOL. 45
2** Réciproquement, un parallélogramme est un carré lorsqve ses diagonales sont égales et perpendiculaires Vune à Vautre; ou bien lorsqu'elles sont égales et que Vune d'elles est de plus bissectrice des deux angles dont elle joint les sommets,
§ VIII. — Symétrie dans le plan.
32. La symétrie dans le plan peut exister par rapport à un point et par rapport à une droite.
1° On dît que deux points sont symétriques par rapport à un troisième lorsque la droite qui les joint est divisée en deui parties égales par le troisième point.
Si deux figures sont telles que Tune d'elles est Tensemble des points symétriques des points de l'autre par rapport à un certain point fixe, ces deux figures sont dites symétriques par rapport à ce point fixe que Ton appelle centre de symétrie.
Lorsque dans une figure tout point a son symétrique sur la figure même par rapport à un point fixe, celui-ci prend le nom de centre de symétrie de la figurée ou plus simplement de cenirt de la figure. Dans un parallélogramme, le point de concours des diagonales est le centre de la figure.
2** On dit que deux points sont symétriques par rapport à une droite, lorsque la droite qui joint les deux points est perpendiculaire à la première et divisée par elle en deux parties égales.
Si deux figures sont telles que Tune quelconque estTensemble des points symétriques des points de Tautre par rapport à une droite, ces deux figures sont dites symétriques par rapport à cette droite que Ton appelle axe de symétrie.
Lorsque dans une figure tout point a son symétrique sur la figure même par rapport à une droite fixe, celle-ci prend le nom à^axe de symétrie de la figure ou plus simplement d'are rfe la figure. Dans un triangle isocèle, la médiane comprise entre les deux côtés égaux est un axe de figure, et dans un triangle équiiatéral, les trois médianes sont les trois axes de ceUe figure. Dans un rectangle, les droites qui joignent les milieux
des c<5tés opposés sont les deux axes de la figure ; dans un osange, les diagonales en sont les deux axes ; et dans un carré, les diagonales ainsi que les droites qui joignent les milieux des côtés opposés sont les quatre axes de la figure.
33. Sur la symétrie dans le plan on démontre les propositions suivantes :
f . Deux figures symétriques par rapport à un point sont égales et superposables par un simple déplacement de Vune dans le plan commun.
II. Detix figures symétriques par rapport à une droite sont égales mais ne sont superposables qu'après retournement de l'une d'elles.
C'est ce qu'on appelle quelquefois l'égalité symétrique ou par retournement, par opposition à T égalité directe ou par glissement.
III. Dans une figure qui a un ou plusieurs axes de symétrie y les deux parties situées de part et d'autre d'un axe sont égales et superposables par rotation de Vune autour de cet axe.
