CHAPITRE III

^l. — Définitions.

34. Le cercle est la figure formée par une ligne dont tous les points, situés dans un même plan, sont également distants d'un point de ce plan. Ce point s'appelle le cenU'e du cercle; la distance constante est le rayon et la ligne en est la circonférence.

Trois points d'une ligne droite ne pouvant être à égale distance d'un quatrième point, la circonférence n'est ni une ligne droite, ni une ligne brisée; c'est donc une ligne courbe.

Or, si dans le plan de cette courbe on mène du centre une demi-droite quelconque sur laquelle on porte la longueur du j rayon, on obtient un point de la courbe. Cette considératioa | apporte à ce qui précède un degré de plus de précision et permet de dire que la circonférence est une ligne courbe fermée.

Ajoutons qu'elle est la plus simple et la plus importante des lignes courbes.

Enfin, il convient de dire qu'on emploie pour la désigner tout aussi souvent le nom de cercle que celui de circonférence.

De tout cela, il résulte immédiatement :

V que tous les rayons d'un même cercle sont égaux ;

2^ que deux cercles de même rayon sont égaux. Et cette égalW existe aussi bien pour les deux aires que pour les deux circon-* férences ;

3® que la circonférence est le lieu géométrique des point$ rf «* plan distants d'un point fixe de ce plan d'une longueur donnée»^

On appelle diamètre du cercle toute portion de droite passant par le centre et limitée de part et d'autre à la circonférence.

11 suit de là :

1° que tout diamètre d'un cercle est égal au double du rayon de ce cercle ;

2° que tous les diamètres d'un cercle sont égaux.

On démontre en outre que dans un cercle tout diamètre est un axe de symétrie, c'est-à-dire que tout diamètre divise le cercle en deux parties égales et superposables par rotation de Tune autour de ce diamètre.

.^ II. — Poeitions relatives d'une droite et d'an cercle.

35. Trois cas se présentent quand on considère les difTérentes positions d'une droite par rapport à un cercle :

1* La droite peut être extérieure au cercle, c'est-à-dire n'avoir pas de point commun avec la circonférence ;

il^ Elle peut avoir un point commun avec la circonférence ;

3» Elle peut avoir deux points communs avec la circonférence.

Ces trois cas sont déterminés par la triple proposition suivante :

I- Etant donnés un cercle et une droite située dans son plan :

•1® Si la distance de la droite au centre du cercle est plus grande que le rayon, la droite est extérieure au cercle et n'a aucun point commun avec la circonférence ;

2* Si cette distance est égale au rayon , la droite a un point commun avec la circonférence et n'en a qu'un ;

3® Enfin^ si cette distance est plus petite que le rayon, la droite a deux points communs avec la circonférence et n'en a que deux, et réciproquement.

Les réciproques de ces propositions partielles sont les conséquences de la règle énoncée plus haut (25, YII).

Toute droite qui a deux points communs avec une circonférence est une sécante du cercle, et toute droite qui n'£n a qu'un est une tangente : ce point s'appelle point de contact.

710 GÉOBfÉTRlG ÉLÉMENTAIRE THÉORIQUE

36. Tangente. — Les corollaires qui suivent et qui résument les propriétés essentielles de la tangente au cercle sont des conséquences de ce qui précède :

i<* La perpendiculaire menée à V extrémité (Tun rayon du cercle est tangente au cercle, et réciproquement ;

2" Par un point d'une circonférence on peut mener une tangente au cercle et Von n'en peut mener qu'une ;

3® Le cercle et sa tangente en un point sont extérieurs l'un à l'autre, à ^exception du point commun ;

40 Par un point situé à l'intérieur du cercle on ne peut mener aucune tangente au cercle.

Remarque I. — Nous avons commencé par établir qu'il existe des droites qui n'ont qu'un point commun avec la circonférence du cercle et nous avons ensuite donné à chacune de ces droites le nom de tangente. On peut définir tout d'abord la tangente au cercle, et c'est ce que font bon nombre de géomètres, sauf à démontrer immédiatement après qu'il existe des tangentes au cercle et qu'en chaque point de la circonférence oa peut en mener une, mais une seule.

Remarque IL — La tangente peut être considérée comme la position limite que prend une sécante d'un cercle en tournant autour d'un de ses points communs avec la circonférence, lorsque le second point vient se confondre avec le premier.

37. Normale. — On appelle normale au cercle ou à la circonférence en un points la perpendiculaire menée par ce point à la tangente au cercle en ce môme point.

Il résulte de cette définition et de ce qui a été dit plus haut:

1** que la normale au cercle en un point donné se confond avec le rayon mené en ce point ;

2o que toutes les normales à un cercle concourent au centre de ce cercle ;

S"" que par un point donné on peut mener à un cercle deux normales, qui se confondent avec le diamètre passant par ce point.

On démontre que la longueur de toute portion de droite qui

joint un point donné extérieur ouintérieur à un cercle et un point quelconque de la circonférence de ce cercle est comprise entre les longueurs des deux normales menées au même cercle par le point donné.

Il suit de là que la distance d'un point aune circonférence, qui doit être la plus courte de ce point à cette ligne, se mesure par la plus petite des deux normales que Ton peut mener à la circonférence par ce point.

§ III. ~ Arcs et Cordes.

38. Un arc de cercle est une portion quelconque de la circonférence limitée par deux points. La portion de droite qui joint les deux extrémités d'un arc s'appelle la corde de cet arc. On dit de la corde qu'elle sous-tend l'arc, et de Tare qu'il est soustendu par la corde. La portion de surface comprise entre un arc et sa corde porte le nom de segment de cercle ou segment circulaire.

Lorsque deux arcs appartiennent à un même cercle ou à deux cercles égaux, on peut les comparer par superposition. En appliquant les deux arcs Tun sur l'autre de manière qu'il y ait à la fois coïncidence pour les centres des cercles auxquels ils appartiennent et pour Tune de leurs extrémités, de façon, d'autre part, que le sens dans lequel chacun des arcs serait décrit parun point mobile partant de cette extrémité commune soit le même, si les deux autres extrémités coïncident, on dit que les deux arcs sont égaux \ dans le cas contraire, ils sont dits inégaux^ et le plus grand arc est celui dont la seconde extrémité ne serait atteinte par le point mobile qu'après avoir passé par la seconde extrémité de l'autre.

Deux arcs regardés comme décrits dans le même sens par un point mobile sont dits de même sens ; dans le cas contraire, ils sont dits de sens contraire.

Si Ton considère sur un même cercle deux arcs de même sens disposés de façon que la première extrémité de l'un coïncide avec la seconde de l'autre, l'arc décrit par le point mobile

en les parcourant Successivement Tun après Tautre est la somme de ces deux arcs.

On peut obtenir la somme d*un nombre quelconque d^arcs de même cercle en les plaçant ainsi les uns à la suite des autres, et cette somme est indépendante de Tordre dans lequel on ajoute ces arcs. Mais il peut arriver, dans cette opération, que pour décrire Tare somme, le point mobile repasse par la première extrémité du premier arc et la dépasse : dans ce cas, la somme des arcs considérés comprend une circonférence entière plus un certain arc. Si le point mobile revient exactement à la première extrémité du premier arc sans la dépasser, la somme est représentée par une circonférence entière. Enfin, si le point mobile ne revient pas à la première extrémité du premier arc, la somme est inférieure à une circonférence.

Dans un cercle, une corde sous-tend deux arcs dont la somme est égale à la circonférence.

39. La théorie des arcs et des cordes comprend les propositions essentielles qui suivent :

ï. Dans un cercle, le diamètre est plus grand que toute corde.

Cette vérité s'exprime, encore en disant que le diamètre est la plus grande corde d'un cercle.

II. Si, dans un même cercle ou dans deux cercles égatix, on considère deux arcs plus petits qu^une demi-circonférence, la corde qui sous-tend l'un de ces arcs est infémeure, égale ou supérieure à celle qui sous-tend Vautre^ suivant que le premier arc est inférieur y égal ou supérieur au second^ et réciproquement.

m. Le diamètre perpendiculaire à une corde d'un cercle divise la corde et les deux arcs quelle sous-tend en deux parties égales.

Il résulte de cette proposition que le diamètre perpendiculaire à une corde satisfait à cinq conditions : il passe par le centre du cercle, par le milieu de la corde, par le milieu de chacun des arcs qu elle sous-tend, et il est perpendiculaire à la corde. Or, comme deux points déterminent une droite et que par un point on ne peut mener qu'une perpendiculaire à une droite, il s'ensuit que toute droite qui remplira deux des cinq conditions précédentes remplira aussi les trois autres.

Od déduit de là une série de propositions dont voici quelquesunes :

!• Dans un cercle, la droite qui joint le milieu d'un arc au milieu de la corde qui le soii$-tend est perpendiculaire à cette corde, et passe par le centre du cercle ainsi que par le milieu du second arc que cette même corde sous-tend;

2** Dans un cercle, la perpendiculaire menée à une corde en son milieu passe par le centre du cercle et par le milieu de chacun des arcs que cette corde sous-tend ;

3* Dans un cercle, le lieu des milieux des cordes parallèles à une menu direction est un diamètre perpendiculaire à cette direction,

IV. Si, dans un même cercle ou dans deux cercles égaux, on considère deux cordes, la distance au centre de l'une d'elles est inférieure, égale ou supérieure à la distance au centre de Vautre suivant qu'elle est supérieure, égale ou inférieure à l'autre, et réciproquement.

V, Deux droites parallèles interceptent sur une circonférence des arcs égaux,

§ IV. — Positions relatives de deux cercles.

40. Nous établirons d'abord que deux circonférences ne peuvent avoir plus de deux points communs sans se confondre. C'est ce qui résulte du théorème suivant :

I. Trois points non en ligne droite déterminent une circonférence. Dès lors, si Ton considère deux circonférences dans leurs

positions Tune par rapport à Tautre, il se présente trois cas principaux :

i° Les deux circonférences peuvent n'avoir aucun point commun ;

^ Elles peuvent avoir un point commun ;

3* Elles peuvent avoir deux points communs.

Ces trois cas sont déterminés par la triple prgposition suivante :