II. Etant données deux circonférences

714 GÉOMÉTRIE ÉLÉBIENTAIRE THÉORIQUE

i*» Si la distance des centres est plus grande que la somme de$ rayons ou plus petite que leur différence^ les deux circonférences sont extérieures ou intérieures Vune à Vautre et n'ontaucun point tommun ;

â^ Si la distance des centres est égale à la somme ou à la diffé" rence des rayons^ les deux circonférences ont un point commun ;

3^ Si la distance des centres est plus petite que la somme des rayons ou plus grande que leur différence^ les deux circonférences ont deux points communs ; et réciproquement.

Les réciproques de ces propositions partielles sont les conséquences de la règle précédemment énoncée (25, YII) .

Deux circonférences qui ont deux points communs sont dites sécantesy et quand elles n*en ont qu*un elles sont dites tangentes ; le point commun s'appelle point de contact.

Il suit de là que deux circonférences peuvent avoir Tune par rapport à l'autre cinq positions différentes. Elles sont :

1° extérieures; si la distance des centres est supérieure à la somme des rayons ;

2*^ tangentes extérieurement, si la distance des centres est égale à la somme des rayons ;

3^ sécantes, si la distance des centres est inférieure à la somme des rayons et supérieure à leur différence;

4^ tangentes intérieurement, si la distance des centres est égale à la différence des rayons ;

5<^ intérieures, si la distance des centres est inférieure à la différence des rayons.

Dans le cas où les centres des deux circonférences intérieures coïncident, on dit que ces deux circonférences sont concentriques y et la portion de plan comprise entre elles s^appelle couronne circulaire,

III. Lorsque deux circonférences sont sécantes ^ la droite des centres est perpendiculaire à la corde commune^ en son milieu. De ce théorème découlent les conséquences : 1" Si deux circonférences sont sécantes, les deux points communs ^ont symétriques par rapport à la droite des centres;

^ Si deux circonférences ont un point commun en dehors de la droite des centres, elles en ont un second symétrique du premier par rapport à cette droite ;

3® Si deux circonférences sont tangentes^ leur point commun est sur la droite des centres ; et, réciproquement, si deux circonférences ont un point commun sur la droite des centres y elles sont tangentes ;

4* Si deux circonférences sdnt tangentes, elles ont une droite tangente en leur point commun^

§ V. — Mesnre des angles.

41. Les angles, dont on a pu définir Tégalité et la somme, sont des grandeurs mesurables ; il en est de même des arcs.

Dans la pratique, une mesure d'angle se ramène à une mesure d'arc. ^

On simplifie ainsi les opérations géométriques à effectuer

sur les angles en même temps que les moyens employés pour

évaluer ces grandeurs. Dans ce qui va suivre, nous allons

montrer comment se justifie cette substitution d'une mesure

.à l'autre et comment se fait la mesure des arcs.

42. Angle au centre. — Dans un cercle, on appelle angle au centre tout angle qui a son sommet au centre du cercle.

Les angles au centre jouissent des propriétés suivantes : I. Dans le même cercle ou dans deux cercles égaux : i^ Deux angles au centre égaux interceptent des arcs égaux ; 2^ Deux angles au centre inégaux interceptent des arcs inégaux

et au plus grand angle con^espond le plus grand arc;

et réciproquement.

II« Dans le même cercle ou dans deux cercles égauXy le rapport

de deux angles au centre est égal au rapport des deux arcs qu'ils

interceptent.

Cette proposition s'énonce encore etplus simplement ainsi :

Les angles au centre sont proportionnels aux arcs interceptés par

leurs côtés*

La démonstration rigoureuse de ce théorème comporte l'examen des deux cas où le plus grand arc est ou n'est pas commensurable avec l'autre . Le premier cas ne présente aucune difficulté. Quant au second, il demande Tintervenlion : i* de deux séries d*arcs commensurables avec le plus petit des arcs donnés, ne comprenant respectivement que des arcs inférieurs et des arcs supérieurs au plus grand arc donné, les premiers croissant et les seconds décroissant indéfiniment; 2<^ de deux séries d'angles au centre correspondant aux deux séries des arcs précédents . On prouve alors que les rapports au plus petit arc donné des arcs de chacune des deux séries tendent vers une limite commune qui est aussi celle vers laquelle tendent les rapports au plus petit angle donné des deux séries d'angles commensurables envisagés.

On déduit de là le théorème relatif à la mesure de l'angle au centre :

m. Un angle au centré a même mesure que Carc compris entre ses côtés f quel que soit le rayon du cercle, pourvu que l'on prenne pour unité d'arc Varc compris entre les côtés de l'angle au centre ' pris pour unité d'angle.

Ce théorème, auquel on a souvent recours, se formule d ordinaire d'une manière vicieuse en ces termes plus concis : L'angle au centre a pour mesure l'arc compris entre ses côtés.

L'angle droit étant pris pour unité d'angle, Tare unité est le quart de la circonférence, que Ton nomme quadrant.

En général, on adopte pour unité d'arc la 360« partie de la circonférence, à laquelle on donne le nom de degré, et l'unilé d'angle est alors Tangle au centre correspondant à cet arc. Le degré est divisé en 60 parties égales appelées minutes, et la minute en 60 parties égales appelées secondes.

Il résulte de là qu'à un arc d'un nombre déterminé de degrés, de minutes et de secondes, correspond un angle du même nombre de degrés, de minutes et de secondes.

Deux arcs ayant même mesure en degrés, minutes et secondes ne sont généralement pas égaux ; pour qu'il y ail égalité il faut que ces arcs appartiennent à un mênie cercle ou

à des cercles égaux; mais les angles au centre correspondant à ces arcs sont toujours égaux.

43. Angle inscrit. — Dans un cercle, on appelle angle inscrit tout angle formé par deux cordes qui se rencontrent sur la circonférence. Un angle est dit inscrit dans un segment de cercle lorsqu'il a son sommet sur Tare du segment et que ses côtés passent par les deux extrémités de la corde de ce segment.

IV. Tout angle inscrit dans un cercle a même mesure que la moitié de l'arc compris entre ses côtés.

Comme cas particulier de ce théorème, on a la proposition ; 7'out angle formé par une tangente et U7ie corde qui se rencontrent au point de contact a même mesure que la moitié de l'arc compris entre ses côtés.

Les corollaires suivants se déduisent de ce qui précède :

1* Fous les angles inscrits dans un même segment sont égaux.

C'est pour cela -qu'on dit que le segment est capable de

l'angle auquel sont égaux tous ceux que Ton peut y inscrire ;

2*^ Un angle inscrit dans un segment est aiguy droit ou obtus

selon que ce segment est supérieur ^ égal ou inférieur à un demi-

cergle ;

3^ Deux angles respectivement inscrits dans les deux segments de cercle ayant la même corde sont supplémentaires.

44. Angle de deux sécantes. — Deux sécantes d'un cercle peuvent se couper à l'intérieur ou à Textérieur du cercle. Dans l'un et l'autre cas, il existe une relation entre la mesure des angles formés et celle des arcs interceptés par les sécantes qui en sont les côtés. Ces relations sont l'objet des deux théorèmes suivants :

V. l^out angle formé par deux sécantes qui se coupent à Vinlérieur d'un cercle a même mesure que la demi-somme des arcs compris entre ses côtés et leurs prolongements,

VI. Tout angle formé par deux sécantes qui se coupent à l'extérieur d'un cercle a même mesure que la demi-différence des arcs compris entre ses côtés.

718 GÉOMÉTRIE ÉLÉMEr^TAIRE THÉORIQUE

Les propositions relatives à TaDgle inscrit et à Tangle de deux sécantes conduisent à ces conséquences :

1® Le lieu géométrique des points d'oii fon voit une portion de droite sous un même angle donné se compose de deux arcs de cercle égaux et symétriques par rapport à cette portion de droite qui leur sert de corde commune. Si l'angle donné est droite le lieu complet est une circonférence dont la portion de droite est un diamètre ;

2® Dans un quadnlatère convexe inscrit dans un cercle^ c'est-àdire dont les quatre sommets sont sur la circonférence du cercle^ deux angles opposés quelconques sont supplémentaires.

Et réciproquement, si deux angles opposés d'un quadrilatère convexe sont supplémentaires, ce quadrilatère est inscriptiôle dans un cercle, c'est-à-dire que la circonférence déterminée par trois de ses sommets passe par le quatrième .

Jii VI. — Déplaoement dans son plan d'une figure plane

de forme Invariable. '

45. Définitions. — Déplacer dans son plan une figure plane F, de forme invariable, c'est obtenir, par un ensemble de points de son plan, correspondant respectivement à ses diflérents points, une seconde figure F' avec laquelle elle puisse coïncider en la transportant sans retournement.

Deux points qui se correspondent dans ces deux figures sont dits homologues; de même que deux droites, deux angles correspondants sont des droites, des angles homologues.

Une figure de forme invariable peut être déplacée dans son plan par translation ou par rotation.

46. Translation. — La translation est un déplacement dans lequel tous les points de la figure décrivent des droites parallèles entre elles, de même sens et de même longueur.

On démontre sur la translation les propositions suivantes :

I. Le déplacement par translation ne déforme pas les figures.

II. Dans la translation toute droite de la figure se déplace parallèlement à elle-même.

III. Le déplacement d'une figure résultant de plusieurs translations est une translation.

Cette dernière translation est dite la résultante des antres et celles-ci sont appelées les composantes de la résultante.

La résultante de plusieurs translations OA, OB, OC, ..., OK, d'un point d'une figure, c'est-à-dire de déplacements successifs OA, AB', B'C, . . . , H'K', de ce point, respectivement parallèles et égaux aux droites OA, OB, OC, ...,0K, est la droite OK' qui ferme le polygone OAB'C. .K'.

En particulier, la résultante de deux translations OA et OB est la diagonale OB' du parallélogramme 0AB3 construit sur les deux droites OA et OB.

La résultante de plusieurs translations est indépendante de Tordre dans lequel on effectue ces translations .

47. RotatioD. — La rotation est un déplacement dans lequel tous les points de la figure tournent autour d'un même point fixe appelé centre de rotation et décrivent des arcs de cercle de même sens et de même mesure.

On démontre sur la rotation les propositions suivantes :

I V. Le déplacement par rotation ne déforme pas les figures.

V. Dans la rotation toutes les droites de la figure se déplacent d*un même angle.

Et Ton établit ensuite ce théorème d'ordre général :

VI. Tout déplacement^ dans son plan, d'une figure plane de forme invariable peut être produit par une translation ou par une rotation.