CHAPITRE IV

§ I. -- Longueurs proportionnelles.

48 . Rappelons d^abord que deux grandeurs sont dites proportionnelles {Arithm.^ 159) lorsque le rapport de deux valeurs quelconques de Tune est égal au rapport des valeurs correspondantes de Tautre.

Il suit de là que si A et A' sont deux valeurs de la première grandeur, B et B' deux valeurs correspondantes de la seconde^ la proportionnalité s'exprime par Tégalité

j\ B A' "" B" qui est aussi une proportion ^ où les termes portent les mêmes noms qu'en Arithmétique, mais qui diffère cependant, par certains points, de la proportion arithmétique. En effet:

l"" Si les deux grandeurs sont de même espèce, les quatre valeurs A, A', B et B' sont aussi de même espèce, et alors la plupart des propriétés des rapports égaux et des proportions arithmétiques sont applicables à ces nouvelles proportions. C'est ainsi qu'on peut intervertir Tordre des moyens ou celui des extrêmes ; écrire pour une suite de rapports égaux qu'on forme un nouveau rapport égal à chacun des précédents en prenant pour numérateur la somme des numérateurs des rapports proposés et pour dénominateur la somme de leurs dénominateurs, etc.

^'^ Mais si les deux grandeurs ne sont pas de même espècCt les propriétés arithmétiques des rapports égaux et certaines propriétés des proportions ne sont pas applicables à ces non-

FIGURES SEMBLABLES 72l

velles proportions. Un changement d'ordre dans lés moyens ou dans les extrêmes n'auraitpas de sens. On peut cependant écrire, par exemple, que la somme ou la différence des deux premiers termes est au second comme la somme ou la diffé* rence des deux derniers est au quatrième ; c'est-à-dire obtenir de la proportion donnée^ par les principes arithmétiques éta* blis, toute proportion dans laquelle chaqye rapport ne comprend que des valeurs d'une môme grandeur ou deux grandeurs de même espèce.

Cela dit, revenons aux longueurs proportionnelles, au sujet desquelles on démontre tout d'abord les théorèmes qui suivent :