MA M'A

que les rapports ,,^ et -—r— des distances de chacun a eux aux ^ ^'^ MB M'B

deux points A et B, aieyit une même valeur quelconque donnée. Uun de ces points est situé entre A et B et l'autre en dehors ; de pluSf Vun et Vautre se trouvent toujours d'un même côté du milieu de AB, celui de A ou celui de B selon que le rapport donné est inférieur ou supérieur à l'unité.

Lorsque le point M est entre A et B, les deux segments MA et MB ont pour somme la longueur AB ; dans le cas contraire, AB est la différence des deux segments. Dans le premier cas, on dit que les deux segments sont additifs; dans le second, qu'ils sont soustractifs,

II. Toute parallèle à Vun des côtés d'un triangle détermine sur les deux autres côtés des segments proportionnels.

La démonstration rigoureuse de ce théorème demande Texamen des deux cas où les deux segments déterminés sur un même côté sont ou ne sont pas commensurables entre eux. Le premier cas ne présente aucune difficulté. Pour le second, on se sert du procédé qui a servi à établir la proportionnalité des angles au centre et des arcs correspondants (42, II).

III. Réciproquement, toute droite qui détermine sur deux côtés d'un triangle des segments proportionnels à la fois additifs^ ou soustractifs^ est parallèle au, troisième côté.

DAUZAT, — lïÉTUODOL. 56

De ces deux propositions on déduit ce double corollaire :

Trois droites parallèles déterminent sur deux droites quelconques des segments proportionnels ; et, réciproquement, si trois droites, dont deux sont parallèles, déterminent sur deux droiles quelconques des segments proportionnels disposés de la même manière f dans le premier groupe de droites la troisième est parallèle aux deux autres.

IV. Dans tout triangle^ la bissectrice d'un des angles^ intérieur ou extérieur^ détermine sur le côté opposé deux segments, additifs ou soustrac tifs, proportionnels aux côtés adjacents, et réciproquement.

Ce théorème a pour conséquence le suivant :

V. Le lieu des points dont les distances^ pour chacun d'eux, à deux points fixes, sont dans un rapport donné est un cercle ayant pour diamètre la portion de droite comprise entre les deux points qui partagent, dans ce rapport donné, la distance des deuxpovnls fixes,

§ II. — Polygones semblables.

49. Définitions. — On dît que deux polygones d'un même nombre de côtés sont semblables lorsque leurs angles pris dans le même sens circulaire sont égaux chacun à chacun, et que les côtés adjacents, dans Tun et Tautre, à des angles respectivement égaux sont proportionnels .

Aux angles respectivement égaux dans les deux polygones, on donne le nom d'angles homologues ; aux côtés respectivement adjacents à ces angles^ celui de côtés homologues; et aux sommets respectifs de ces angles, celui de sommets homologues.

D'une manière générale, on dit que deux systèmes quelconques de points ou de droites sont semblables, lorsqu'en joignant les points homologues par des droites^ on forme des angles homologues égaux, des droites homologues proportionnelles, des polygones semblables.

Dans deux figures semblables, le rapport constant de deux

côtés OU de deux droites homologues s'appelle rapport de timilitude,

50. Triangles semblables. — L'existence des polygones semblables est mise en évidence par les théorèmes I et lY qui suivent.

I. Toute droite parallèle à Vun des côtés d'un triangle détermine un nouveau triangle semblable au premier.

Lorsque deux triangles sont semblables, ils satisfont à cinq conditions, dont trois expriment l'égalité des angles et deux la proportionnalité des côtés. Le triple théorème suivant, qui traduit ce qu'on appelle les trois cas généraux de similitude des triangles, montre que lorsque certaines de ces cinq conditions sont remplies^ les autres le sont aussi et les deux triangles envisagés sont semblables.

II. Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont : 1° Deux angles égaux chacun à chacun ;

2° Un angle égal compris entre deux côtés proportionnels ;

S** Les trois côtés proportionnels.

De ce théorème on tire les corollaires suivants :

i® Deux triangles qui ont les côtés respectivement parallèles ou perpendiculaires entre eux sont semblables ;

2* Deux triangles rectangles qui ont un angle aigu égal sont semblables, «

Le rapprochement du théorème II et de la définition des figures semblables conduit à ce fait exclusivement relatif à la similitude de deux triangles, que l'égalité des angles et la proportionnalité des côtés se déduisent réciproquement l'une de l'autre.

Il résulte en outre de ce même théorème que sur les cinq conditions contenues dans la similitude de deux triangles, deux suffisent pour entraîner les trois autres et par suite cette similitude des deux triangles ; mais il faut que ces deux conditions soient réunies de manière à former dans chaque triangle un des groupes suivants : deux angles, un angle et les côtés qui le comprennent, ou les trois côtés.

La théorie de la similitude des triangles trouve surtout son

application dans la démonstration, très fréquente en Géométrie, de Tégalité de deux angles ou de la proportionnalité de segments de droite.

Remarquons enfin l'analogie qui existe, dans l'égalité et la similitude des triangles, entre leurs cas généraux : trois cas de part et d'autre, mais avec cette différence, d'une part, qne Tégalité des triangles contient six conditions, et que la similitude n'en comprend que cinq ; d'autre part, que le nombre des conditions nécessaires et suffisantes pour entraîner l'égalité est de trois, et qu'il n'est que de deux pour que la similitude s'ensuive. On peut dire que Tégalité des triangles constitue un cas particulier de leur similitude, celui où les côtés des deux triangles considérés deviennent respectivemenl égaux.

L'important théorème qui suit est une application en même temps qu'un complément de la similitude des triangles :

m. Des droites en nombre quelconque^ issues d'un même points déterminent sur deux droites parallèles qu'elles rencontrent des segments proportionnels ^ et réciproquement.

51. Polygones quelconques semblables. -^ Voici les deux théorèmes essentiels sur la similitude des polygones quelconques.

IV. Deux polygones composés d'un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et disposés de la même manière sonl semblables, et réciproquement.

V. Le l'apport des périmètres de deux polygones semblables est égal au rapport de similitude de ces deux polygones.

§ III. — Relations métriques entre les différentes droites

d'un triangle.

52. On entend pSiV relation métrique entre différents segmenls de droite la relation constante qui peut exister entre les nombres qui mesurent ces segments, quelle que soit l'unité de mesure. Dans une relation de ce genre, où n'entrent que

des indications de portions de droite, on sous-entend donc toujours les nombres qui mesurent ces longueurs.

Pour énoncer en langage ordinaire les relations métriques entre les différentes droites de certains triangles, on a besoin de se servir d'expressions nouvelles que nous allons définir.

Si Ton considère un point et un segment de droite, distincts Tun et l'autre d'une droite indéfinie^ on dt^pelle projection dupoint sur la droite indéfinie le pied de la perpendiculaire menée par ce point sur cette droite, et Ton appelle projection du segment de droite sur la droite indéfinie la portion de cette dernière droite comprise entre les projections des deux extrémités du segment considéré.

53. Cela dit, passons en revue les théorèmes qui traduisent les principales relations métriques relatives aux éléments des triangles.

[ I. Si du sommet de l*angle droit d'un triangle rectangle on mène la perpendiculaire à l'hypoténuse :

1® La perpendiculaire est moyenne proportionnelle entre les deux segments déterminés sur V hypoténuse ;

2' Chaque côté de l'angle droit est moyen proportionnel entre ^hypoténuse entière et sa projection sur l'hypoténuse, . De ce théorème on tire les conséquences suivantes :

1<* Le rapport des carrés des deux côtés de V angle droit d'un i triangle rectangle est égal au rapport des projections de ces côtés \ sur Vhypoténuse ;

S** Une corde quelconque d'un cercle est moyenne proportionnelle entre le diamètre qui passe par une de ses extrémités et sa ' projection sur ce diamètre ;

3° La perpendiculaire menée d'un point quelconque d'un cercle sur un diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux seg-

; ments déterminés sur ce diamètre.

II. Dans un triangle rectangle, le carré de V hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit (Théorème de Pythagore).

Ce théorème fournit le moyen de calculer un côté quelconque d*un triangle rectangle connaissant les deux autres

côtés. Et si ron rapproche de la relalion qu'il exprime les trois qui sont contenues dans le théorème I, on obtient quatre relations entre six segments de droite, qui permettent de calculer quatre de ces segments connaissant les deux autres.

Remarque. — Le théorème II appliqué à Tun des triangles rectangles déterminés dans un carré par sa diagonale montre que dans un carré le rapport de la diagonale au côté est égal au

nombre irrationnel }/f, c*est-à-dire que la diagonale et le côté sont deux longueurs incommensurables entre elles.

III. Dans un triangle quelconque^ le carré d*un côté opposé à un angle aigu est égal à la somme des carrés des deux autres côtéSy diminuée du double produit de Vun de ces côtés par la projection de Vautre sur lui,

IV. Dans un triangle qui a un angle obtus^ le carré du côté opposé à cet angle obtus est égal à la somme des carrés des deux autres côtés^ augmentée du double produit de l'un de ces côtés par la projection de l'autre sur lui.

Du rapprochement de ces trois derniers théorèmes on déduit ce corollaire :

Dans un triangle, selon que le carré d'un côté est inférieur, égal ou supérieur à la somme des carrés des deux autres côtéSf l'angle opposé au premier côté est aigu^ droit ou obt^is, et réciproquement.

Les théorèmes II et III trouvent une importante application dans le calcul des trois hauteurs d'un triangle dont on conDait les trois côtés.

V. Dans tout triangle, la somme des cat^és de deux côtés est égale au double du carré de la médiane correspondant au troisième côté, augmenté du double du carré de la moitié de ce troi' sième côté.

Cette proposition a pour conséquence les suivantes : j

1** Dans tout quadrilatère^ la somme des carrés des quatre calés est égale à la somme des carrés des diagonales^ augmentée du quadruple du carré de la droite qui joint les milieux de ces diago* nales ;

2^ Dans tout parallélogramme, la somme des cat^és des quatre

côtés est égale à la somme des carrés des diàgonalesy et réciproquement ;

3** Le lieu des points dont la somme des carrés des distances à deux points fixes est constante ^ est un cercle qui a pour centre le milieu de la droite qui joint les deux points fixes.

Le théorème V trouve une application immédiate dans le calcul des trois médianes d*un triangle dont on connaît les (rois côtés.

Comme pendant à ce théorème on peut démontrer celui-ci :

Dans tout triangle, la différence des carrés de deux côtés est égale au double produit du troisième côté par la projection sur ce côté de la médiane correspondante»

A son tour, cette dernière proposition conduit à la conséquence :

Le lieu des points dont la différence des carrés des distances à deux points fixes est constante^ est une perpendiculaire à la droite qui joint les deux points fixes.

VI. Dans tout triangle ABC dont le côté BC est divisé par un point D en deux segments additifs quelconques BD et DC, on a

ÂB*-DC4-ÂC*.BD — ÂD*.BG = BC.DC.BD (Théorème deStewart.)

A l'aide de ce théorème on établit une relation très intéressante entre chaque bissectrice d*un triangle, les côtés de ce triangle qui la comprennent et les [deux segments qu'elle dé-* termine sur le troisième côté. Et cette relation permet ensuite de calculer très simplement les trois bissectrices d'un triangle dont on connaît les côtés (339).

VII. Dans tout triangle, le produit de deux côtés quelconques est égal au produit du diamètre du cercle circonscrit à ce triar^ gle par la hauteur correspondante au troisième côté.

Ce théorème permet de calculer le rayon du cercle circonscrit à un triangle dont on connaît les trois côtés (341 )•

Enfin, terminons ce paragraphe par une importante propriété du quadrilatère inscriptible.

VIII. Dans tout quadrilatère inscriptible^ le produit des deux

728 GÉOMÉTHIE ÉLÉMENTAIRE THÉORIQUC

diagonales est égal à in somme des produits des côtés opposés, et réciproquement (Théorème de Ptolémée.) De cette proposition résulte le corollaire suivant : Bans tout quadrilatère inscriptible^ le rapport des deux diagonales est égal au rapport des sommes respectives des produits des côtés qui aboutissent à chacune des extrémités de ces diagonalest et réciproquement.

On trouve dans le théorème VllI et son corollaire le moven de calculer les deux diagonales d'un quadrilatère inscriptible quand on en donne les quatre côtés .

§ IV. — Droites proportionnelles dans le cercle.

54. Lorsque des sécantes issues d'un même point rencontrent une circonférence^ les segments de droite que déterminent sur chacune d'elles le point d'origine et les points d'intersection sont liés entre eux par une relation métrique, indépendante de la position de la sécante, et cette relation fait l'objet du théorème suivant :

Si par un point du plan d'un cercle on mène deux sécantes à ce cercle^ le produit des distances de ce point aux deux points d'intersection de chaque sécante avec la circonférence est constant. • ' ,

- Et réciproquement, 51 çrwa/re pomf* A, B, C e/ D sont tels que les droites AB et CD se rencontrent en un point 0 et donnent ainsi des segments à la fois additifs ou soustr actifs entre lesquels

on ait la relation