OA X OB = OC X OD

ces quatre points sont sur une même circonférence,

* Comme cas particulier de ce théorème on a la proposition :

Si par un point extérieur à un cercle on mène une tangente e(

une sécante à ce cercle, la tangente est moyenne proportionnelle

entre la sécante entière et sa partie extérieure.

Et réciproquement, si trois points A, B e/ C sont situés, le

premier, sur wn côté d\in angle 0, les deux autres, sur le second

côté de cet angle, et si l'on a la relation

OA = OBxOC,

la circonférence qui passe par ces trois points est tangente en A au côté OA.

^ V. — Polygones réguliers.

55. On dit qu'un polygone convexe est régulier lorsqu'il satisfait à la double condition d'avoir tous ses côtés et tous ses angles égaux.

Une ligne brisée convexe est aussi dite régulière quand elle remplit cette même condition.

Lorsqu'un polygone a tous ses sommets sur une circonférence, on dit que le polygone est inscrit dans le cercle et que le cercle est circonscrit au polygone ; et lorsqu^un polygone a tous ses côtés tangents à une circonférence, on dit que le polygone est circonscrit au cercle et que le cercle est inscrit dans le polygone.

L'existence des polygones réguliers est mise en évidence par le théorème qui suit :

I. Une circonférence étant divisée en un certain nombre départies égales :

.1° les cordes qui joignent consécutivement les points de division forment un polygone régulier inscrit dans le cercle ;

2® les tangentes au cercle aux points de division forment uyi polygone régulier circonscrit au même cercle.

Ce théorème s'énonce encore ainsi :

On peut inscrire et circonscrire à un cercle un polygone régulier d'un nombre quelconque de côtés..

Il a pour réciproque le théorème suivant : .11. On peut inscrire et circonscrire un cercle à un polygone régulier donné d'un nombre quelconque de côtés,

La démonstration de ces théorèmes fait ressortir que les deux cercles inscrit et circonscrit à un polygone régulier ont le même centre. On dit que ce point est aussi le centy^e du polygone régulier.

Le rayon du cercle circonscrit s'appelle le rayon du polygone

et le rayon du cercle inscrit reçoit le nom d'apothème du polygone.

L'angle formé par deux rayons consécutifs d'un polygone régulier est Yangle au centre du polygone.

Il est facile d'établir que Tangle au centre et Tangle au sommet d'un polygone régulier sont supplémentaires. Or comme Tangle au centre diminue avec le nombi*e des côtés et que Tangle au sommet varie en sens inverse, on peut dire que dans cette double variation lorsqu'un des angles décroît d'une certaine quantité, Tautre croit exactement de la même quantité.

Il résulte, en outre, de ce qui précède que la construction et par suite le calcul des éléments des polygones réguliers reposent sur la division de la circonférence en parties égales. C'est un côté de la question qui entre dans la Géométrie pratique (321 et suivants).

m. Deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables^ et le rapport de leurs périmètres est égal au rapport de leurs rayons ou de leurs apothèmes.

56. Polygones étoiles. — Considérons une circonférence divisée en n parties égales et dans laquelle on joint les points de division de p en p au lieu de les joindre consécutivement. Plusieurs cas peuvent se présenter :

1^ Si n et p sont premiers entre eux, on ne revient au point de départ, autrement dit, la ligne polygonale régulière que l'on obtient ne se ferme, qu'après avoir parcouru un nombre de divisions égal en même temps à un multiple de n et à un multiple de p, c'est-à-dire à np. On obtient ainsi un polygone dont le nombre des côtés est égal au quotient n du nombre total de divisions parcourues, np, par le nombre de divisions p que sous-tend chaque côté. Ce polygone est régulier, tous ses côtés étant égaux^ de même que tous ses angles, mais il n'est pas convexe, la somme de ses arcs étant supérieure à un cercle. On dit qu'il est étoilém

â<>.Si n et p ne sont pas premiers entre eux, ils admettent un plus grand commun diviseur, que nous désignerons par d.

Dans ce cas, on revient au point de départ après avoir parcouru

un nombre de divisions égal à — y-i et le nombre des côtés

du polygone régulier formé sera de -r> inférieur à n. Ce

polygone est étoile ou non selon que la somme de ses arcs

np

-^ est supérieure ou égale à un cercle, c'est-à-dire suivant

que d est inférieur ou égal à p.

Il est à remarquer qu'en joignant les n points de division d'un cercle de n — p en n — p, au lieu de les joindre de p en p, on obtient le même résultat, attendu que la corde qui sous-tend d*un côté un arc de p divisions en sous-tend un autre à Topposé de n — p divisions.

Il s'ensuit que tous les polygones réguliers de n côtés> convexes ou étoiles, s'obtiennent deux fois en donnant à p successivement la valeur de chacun des nombres premiers inférieurs à n ; par conséquent le nombre de ces polygones réguliers de n côtés est égal à celui des nombres premiers

avec n inférieurs à — •

On conclut de tout cela qu'il n'y a qu'un triangle équilatéral, qu'un carré et qu'un hexagone régulier ; qu'il y a deux pentagones réguliers, deux octogones réguliers et deux décagonesl^ réguliers, dont un est étoile dans chaque groupe; qu'il y a trois heptagones réguliers dont deux étoiles, quatre pentédécagones réguliers, dont trois étoiles, etc.

A tout polygone régulier étoile on peut inscrire et circonscrire un cercle. La démonstration ne diffère pas de celle qui est relative aux polygones réguliers convexes.

La ligne brisée régulière jouit des mêmes propriétés. Toutefois il faut distinguer les deux cas où l'angle au centre d'une ligne de cette nature est ou n'est pas une partie aliquote de quatre droits. Dans le premier cas seul elle est une portion du périmètre d'un polygone régulier, qu'on peut fermer avec un nombre suffisant de côtés*

Remarque. — Lorsqu'on sait inscrire dans le cercle des

732 GÉOMÉTRIE ÉLÉMEKTAIRE THÉORIQUE

polygones réguliers de m et de n côtés, m et n étant des nombres premiers, on peut y inscrire des polygones réguliers de mn côtés. Considérons en effet, sur la circonférence, deux arcs AB et BC disposés Tun à la suite de l'autre, et représentant respectivement la m' et la n' parties de la circonférence;

i i Tare AC, qui est leur somme, aura pour expression 1

OU • La corde correspondante sous-tendra donc dans

mn

la circonférence divisée en mn parties égales m+n de ces

divisions, et comme m-hn et mn sont des nombres premiers

entre eux, cette corde sera le côté d'un polygone régulier de

mn côtés.

§ VI. — Mesure de la oirconlérence.

57. Pour aborder la question de la mesure de la circonférence, il faut d'abord savoir ce qu'on doit entendre par longueur d'un arc de cercle, ou, plus généralement, longueur d'un arc de courbe.

Après avoir défini l'égalité et l'addition des segments de droite, on a pu comparer l'une à Tautre les longueurs de deux de ces segments et par suite mesurer la longueur d'un segment de droite quelconque en prenant pour unité de longueur un autre segment donné.

En ne considérant que des arcs d'un même cercle ou de cercles égaux, on a pu également définir l'égalité et l'addition des arcs, par conséquent comparer des arcs entre eux et en déterminer la mesure en prenant l'un d'eux comme unité. Mais si les arcs appartiennent à des cercles de rayons différents, la comparaison par ce procédé n'est plus possible, parce que de pareils arcs ne sont pas superposables.

On a donc cherché le moyen de réaliser cette comparaison, non seulement pour deux arcs de cercle, mais encore pour deux arcs de courbes quelconques, et mieux encore, pour un arc de courbe et une droite. Pour cela, on a ramené la mesure

d'un arc quelconque à celle de la longueur d'une ligne brisée , en adoptant la définition suivante de la longueur d'un arc de courbe :

La longueur d'un arc de courbe convexe dans toute son étendue est la limite vers laquelle tend le périmé ti^e d'une ligne polygonale inscHie dans cet arc lorsque les côtés de cette ligne, croissant en nombre d'une manière continue^ tendent indéfiniment vers zéro.

Mais cette définition a besoin d'être justifiée, en montrant que la limite existe, et qu'elle est unique quelle que soit la loi d'après laquelle sont formés les côtés des lignes polygonales successives.

A cet effet, on considère, d'une part, une ligne polygonale de n côtés inscrite dans un arc de courbe donné, d'autre part, la ligne polygonale circonscrite à ce même arc en lui menant des tangentes par les sommets de la ligne inscrite; on démontre ensuite les faits suivants :

i» Si l'on double indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée inscrite, le périmètre de cette ligne va sans cesse en augmentant tout en restant inférieur au périmètre de la ligne circonscrite : il admet donc une limite;

2o Si à chaque multiplication des côtés de la ligne polygonale inscrite , on fait correspondre une ligne polygonale circonscrite et formée comme il vient d'être dit, les périmètres des deux lignes polygonales, inscrite et circonscrite, tendent vers la même limite, quand on double indéfiniment le nombre des côtés de la première ;

3** Enfin, si Ton fait croître indéfiniment, d'après une loi quelconque, le nombre des côtés d'une ligne polygonale inscrite de n' côtés, cette variation entraînant celle d'une ligne polygonale circonscrite correspondante, c'est-à-dire construite comme précédemment, la limite commune vers laquelle tendent ces deux lignes est la même que celle des deux lignes polygonales précédemment envisagées.

Les conséquences qui suivent résultent immédiatement de cette démonstration :

1® Le plus court chemin d'un point à un autre est la ligne droite ;

2** Une ligne convexe quelconque^ courbe ou brisée^ e$t plus courte que toute ligne enveloppante qui a les mêmes extrémités ;

3® Une ligne convexe fermée quelconque^ courbe ou brisée, est plus courte que toute ligne fermée qui l'enveloppe .

58. Gela posé, pour arriver à la mesure de la circonférence, on démontre préalablement les théorèmes suivants :

I. Le rapport de deux circonférences est égal au rapport de leurs rayons.

D'où le corollaire :

Le rapport d'une circonférence à son diamètre est un nombre constant.

On accompagne ces deux propositions de cette autre relative aux arcs semblables, c'est-à-dire aux arcs qui correspondent, dans des cercles différents, à des angles au centre égaux :

II. Le rapport de dexAX arcs semblables est égal à celui de leurs rayons.

Et c'est ici que se place le calcul du nombre constant qui exprime le rapport de la longueur d'une circonférence à celle ' de son diamètre et qu'on représente par la lettre grecque - On démontre, par des procédés qui ne sont pas du domaine des mathématiques élémentaires, que ce nombre est irrationnel ; les calculs que nous allons indiquer n'en donnent donc qu'une valeur approchée.

59. Calcul du nombre tz. — La recherche du nombre i: peut se faire par deux méthodes inverses l'une de l'autre et qui consistent : Tune, à partir de la connaissance du rayon d'une circonférence pour calculer la longueur de cette circonférence; l'autre, à partir de la connaissance de la longueur d'une circonférence pour en calculer le rayon. La première porte le nom de méthode des périmètres ei la seconde celrfi de méthode des isopérimètres.

Métliode des périmètres. — D'après ce qui précède, la longueur G d'une circonférence de rayon R sera exprimée par la formule

(i) C=27cR;

et cette longueur donnera, par Tadoption du diamètre de la circonférence pour unité de longueur» le nombre n.

Dès lors, il sufQra de calculer le périmètre d*un polygone régulier inscrit dans cette circonférence, et d'évaluer ensuite successivement les périmètres d'une suite de polygones réguliers dont le nombre des côtés de chacun sera double de celui du précédent. On arrivera ainsi à une valeur approchée

par défaut de la circonférence, par conséquent de ^, aussi voisine de ce nombre qu'on le voudra.

En considérant d^autre part un polygone régulier circonscrit, dont on doublera un certain nombre de fois le nombre des côtés, on obtiendra une valeur approchée par excès de la circonférence, ou du nombre tc, aussi voisine de ce nombre qu'on le voudra.

Le nombre ic, compris entre les deux résultats précédents, auxquels on fait exprimer des périmètres d'un même nombre de côtés, différera de chacun d*eux d'une quantité moindre que leur différence.

Dans cette recherche, on part généralement du carré ou de rhexagone, et les calculs que la question comporte demandent qu'on résolve au préalable les deux problèmes suivants :

I® Connaissant le côté a d'un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon donné R, calculer le côté Oi du polygone régulier d*un nombre double de côtés inscrit dans le même cercle (343);

2* Connaissant le côté a d'un polygone régulier insent dans un cercle de rayon donné R, calculer le côté a' (fu polygone régulier du même nombre de côtés circonscrit au même cercle.

Ces deux problèmes ont pour solutions respectives :

ai = V/R(2R~v/TR?~a*),

Méthode des iBopérimètres. — Si l'on se donne une circon>

férence de longueur égale à 2, pour en calculer le rayon, Tex-

pression — = R, qui se déduit de la formule C = îrR,

montre que ce rayon exprimera Tinverse du nombre t..

On calculera donc le rayon r et l'apothème a d'un polygone régulier de périmètre égal à 2 et Ton aura ainsi deux longueurs qui seront les rayons respectifs de la circonférence circonscrite et de la. circonférence inscrite au polygone. La première de ces circonférences sera plus grande que le périmètre du polygone et la seconde sera plus petite. On aura donc dans les quantités r et a deux valeurs respectivement approchées par excès et par défaut de R ; et en prenant l'un on Tautre pour R on commettra une erreur moindre que leur différence. Et comme on démontre

que cette différence est inférieure, dans tout polygone régulier

de n côtés, à — i il suffira de prendre n assez grand pour

avoir une valeur de R aussi voisine de ce nombre qu'on le voudra. Pour cela, on évaluera successivement les rayons et les apothèmes d'une série de polygones réguliers de périmètre égal à 2 et dont le nombre des côtés de chacun d'eux sera double de celui du précédent.

Dans celte recherche, on part généralement du carré ou de l'hexagone, et les calculs que la question comporte demandent que Ton résolve au préalable le problème suivant :

Connaissant le raxjon r et l'apothème a d'un polygone régulier, calculer le rai/on Ti etVapothème a^ d*un polygone régulier isnpérinùtre d'un nombre double de côtés,

La solution de ce problème se résume dans les deux for-

mules : (ix,= — - — et 7'i = vV(/i qui signifient que dans

la suite a, r, a,, ri, a.2y V2, ..., les termes, à partir du troisième, sont alternativement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des deux termes qui précèdent chacun d'eux.

Or si Ton part du carré, od a a = -- et r = -ï-—, et si

Ton remarque que — est la moyenne arithmétique entre -^

v^2 il

et 0 et que — r- est la moyenne géométrique entre -3- et —- ,

on arrive à la règle suivante due à Schwab :

Le nombre -^ est la limite vers laquelle tend la suite des termes

forméSy à partir du troisième^ en prenant alternativement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des deux termes précédents.

De ces deux méthodes, la plus simple est celle des isopérimètres ; cependant si Ton applique celle des périmètres à la

recherche d'une valeur approchée de —1 on effectue des cal-

culs qui sont exactement ceux qui se présentent dans l'emploi de Tautre méthode.

L'illustre géomètre grec Archimède, qui vivait au IIP siècle avant J.-C, est le premier qui ait déterminé le rapport de la circonférence au diamètre ; il a démontré que ce rapport est

compris entre les nombres 3 -+- —— et 3 -+- -=rr • Cette der-

nière valeur, ou -^^ > réduite en décimales donne 3,1428 ... :

elle surpasse ic de moins de deux millièmes .

Au XVI^ siècle, Adrien Métius nous a donné le nombre

-7— = 3,14159292..., qui surpasse 7t de moins de trois

1 mu

dix-millionièmes.

Par des méthodes qui dépendent des hautes mathématiques on peut rapidement obtenir une valeur très approchée du nombre t:. Avec 10 décimales, cette valeur est ^ = 3,1415926535.

On calculera donc la longueur d'une circonférence dont on connaît le rayon en se servant de la formule précédemment

DAUZAT. — HJÈTHODOL. 47

indiquée, C = SrR, dans laquelle on remplacera ?? et R par leurs valeurs respectives.

La longueur / d'un arc de cercle de rayon R etde n degrés sera exprimée par cette autre formule, qui se déduit très facilement de la première :