CHAPITRE V

§ I. — Aires des polygones.

60. Définitions. — On appelle aire d'une portion de surface . Fétendue de cette surface.

Lorsque deux portions de surface sont superposables, on dit qu'elles sont égales. Et si Ton juxtapose les unes aux autres plusieurs portions de surface de manière qu'il n'y ait de recouvrement dans aucune de leurs parties, on dit que la surface limitée qui en résulte est la somme des portions de surface qui la composent. Dans le premier cas, on dit aussi que les aires des deux figures sont égales, et dans le second, que Taire de la figure résultante est la somme des aires des figures composantes.

Les aires sont donc des grandeurs mesurables. Il résulte aussi de ce qui précède que les aires de deux figures peuvent être égales, c'est-à-dire exprimées par un môme nombre, sans que ces figures soient superposables : on dit alors que les deux figures sont équivalentes.

En dehors d'un nombre de cas fort restreint, la mesure des aires ne peut pas s'obtenir, comme celle des droites et des angles, par la superposition, à cause des difficultés de Topération. On la déduit, par des considérations d'équivalence, de la mesure de certaines lignes des figures, en prenant pour unité d'aire Taire du carré dont le côté est l'unité de longueur. C'est ce qu'établissent les théorèmes qui vont suivre.

L'unité d'aire est ainsi le mètre carré, auquel on adjoint ses multiples et ses sous-multiples.

Les géomètres ont choisi le carré comme figure de runité d'aire, de préférence à tout autre polygone, comme le triangle par exemple — bien que toutes les figures polygonales soient décomposables en triangles et non en carrés — en raison des complications que présenteraient les propositions sur la me* sure des aires et des difficultés de calcul qui en seraient la conséquence.

En rapprochant le fait évident que tout polygone est décomposable en triangles de ces deux propositions: i<> le triangle est la moitié du parallélogramme de même base et de même hauteur ; 2» le parallélogramme quelconque est équivalent au rectangle de même base et de même hauteur^ on conçoit que la mesure de l'aire d'un polygone quelconque puisse être subordonnée à celle de l'aire du rectangle qui est la figure dont la forme se rapproche le plus de celle de Tunité d'aire adoptée. C'est la raison pour laquelle on commence la théorie de la mesure des aires des polygones par les propositions suivantes relatives au rectangle :

61. Rectangle. ^I. I^s aires de deux rectangles qui ont même base {ou même hauteur) sont entre elles comme les hauteurs [ou les bases) de ces rectangles.

II. Les aires de deux rectangles quelconques sont entre elles comme les produits respectifs de la base par la hauteur de ces rectangles,

III. L*aire d'un rectangle a pour mesure le produit des deux nombres qui mesurent sa base et sa hauteur.

Ce théorème, dont Tapplication est très fréquente, s'énonce généralement d'une manière incorrecte, mais que Tusage a consacrée parce qu'elle est-plus simple^ et qui est la suivante: J

L'aire du rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Sous l'expression abrégée de produit de deux lignes qui se rencontre ici, et que nous utiliserons pour la simplicité du langage dans l'énoncé des propositions qui vont suivre, il faut toujours entendre le produit des deux nombres qui mesurent ces deux lignes.

On dit de même carré d'une ligne pour carré du nombre qui mesure cette ligne.

La mesure de Taire du rectangle conduit à cette consé- •quence :

I/aire d'un carré a pour mesure le carré de son côté.

62. ParaUélogramme. — IV. L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

D'où se déduisent les deux corollaires :

!*• Deux parallélogrammes de mêm^ base et de même hauteur sont équivalents ;

2** Deux parallélogrammes de même base {ou de même hauteur) sont entre eux comme leurs hauteurs [ou leurs bases).

63. Triangle. — V. L'aire d'un triangle a pour mesure le demiproduit de sa base par sa hauteur.

Ce théorème a pour corollaires les suivants : fo Deux triangles de même base et de même hauteur sont équivalents ;

^^ Deux triangles de même base [ou de même hauteur) sont entre -eux comme leurs hauteurs [ou leurs ba^es),

64. Trapèze. — VI. L'aire d'un trapèze a pour mesure le pro~ •duit de la demi-somme de ses bases par sa hauteur,

La demi-somme des bases d'un trapèze étant égale à la droite qui joint dans ce trapèze les milieux des deux côtés non parallèles, on énonce encore de la manière suivante le théorème précédent :

L'aire d'un trapèze a pour mesure le produit de sa hauteur par la droite qui joint les milieux de ses deux côtés non parallèles.

65. Polygone quelconque. — En principe, Taire d'un polygone quelconque s'obtient parla décomposition de ce polygone en figures dont on sait évaluer les aires. La somme des aires de toutes les figures composantes donne Taire du polygone. Ordinairement, on décompose le polygone en triangles par des diagonales qui partent ou non d'un même sommet, ou bien par des droites qui joignent un point intérieur à tous les sommets du polygone.

Un autre procédé, que Ton emploie particulièrement sur le terrain, consiste à tracer la plus grande diagonale du polygone et à mener sur cette diagonale des perpendiculaires de tous les sommets du polygone situés en dehors de cette diagonale. La décomposition donne des triangles rectangles et des trapèzes à deux angles droits que Ton appelle pour cette raison trapèzes rectangles.

66. Polygone régulier. — VII. L'aire d'un polygone régulier a pour mesure le demi-produit de son périmètre par son apothème.

On appelle secteur polygonal régulier la figure formée par une ligne brisée régulière et les rayons qui vont du centre de cette ligne à ses deux extrémités.

VIII. L'aire d'un secteur polygonal régulier a pour mesure le demi-produit de sa ligne brisée régulière par son apothème.

^ II. — Aire du cercle.

67. Considérons deux polygones réguliers semblables, Tud inscrit et l'autre circonscrit à un cercle. Par la duplication indéfinie du nombre des côtés du polygone inscrit, le périmètre tend vers une limite qui est la circonférence du cercle, etTapothème, vers le rayon de ce cercle. De même, en doublant indéfiniment le nombre des côtés du polygone circonscrit, le périmètre tend vers une limite qui est encore la circonférence du cercle, mais l'apothème reste constant et égal au rayon de ce cercle. Il en résulte que les aires des deux polygones d'après Texpression de leurs mesures, tendent vers une même limite, qu'on appelle Vaire du cercle^ cette dernière figure restant constamment comprise dans son étendue entre les deux premières.

En considérant, d'autre part, un secteur circulaire^ c'est-à-dire la portion de cercle comprise entre un arc et les deux rayons qui aboutissent à ses extrémités, de ce qui précède, ou par un raisonnement analogue, on déduit que Taire d'un secteur circulaire est la limite commune vers laquelle tendent les aires de

deux secteurs polygonaux réguliers semblables, Tun inscrit et Fautre circonscrit au secteur, dont on double indéfiniment le nombre des côtés.

D'où les théorèmes :

I. L'aire d'un cercle a pour mesure le demi-produit de sa circonférence par son rayon,

II. L'aire d'un secteur circulaire a pour mesure le demi-produit de son arc par son rayon.

III. L*aire d'un segment circulaire inférieur à un demi-cercle a pour mesure le demi-produit de son rayon par r excès de son arc sur la moitié de la corde de l*arc double.

§ III.~ Comparaison des aires.

68. De la comparaison des aires des figures planes semblables on déduit les théorèmes suivants :

I. Le rapport des aires de deux polygones semblables est égal au carré du rapport de similitude de ces deux polygones.

D*après la définition du rapport de similitude de deux polygones semblables, ce théorème s'énonce encore ainsi :

Le rapport des aires de deux polygones semblables est égal au rapport des carrés des côtés homologues.

II. /^ rapport des aires de deux polygones réguliers semblables est égal au rapport des carrés de leurs rayons ou de leurs apothèmes.

III. Le rapport des aires de deux cercles est égal au rapport des carrés de leurs rayons.

IV. Le rapport des aires de deux secteurs ou de deux segments circulaires semblables est égal au rapport des carrés de leurs rayons.

69. A ces propositions nous ajouterons les suivantes, qui se rapportent à la représentation géométrique de certaines relations métriques entre les différentes droites d'un triangle, et dont il a été précédemment question :

V. Dans un triangle rectanglCy le carré construit sur Vhypoténuse est équivalent à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés.

On tire de ce théorème le moyen de construire an carré équivalent à la somme ou à la différence de deux carrés donnés.

VI. Dans un triangle quelconque^ le carré construit sur un côté opposé à un angle aigu est équivalent à la somme des carrét construits sur les deux autres côtés ^ diminuée de deux fois le rectangle construit sur Vun de ces côtés et la projection de tautrt sur lui,

VII. Dans un triangle qui a un angle obtvs^ le carré construit sur le côté opposé à cet angle obtus est équivalent à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés ^ augmentée de deux fou le rectangle construit sur l'un de ces côtés et la projection de l'autre sur lui.

En adoptant, comme il a été dit, le carré construit sur Tunité de longueur pour unité d'aire^ il est à remarquer que le carré du nombre qui mesure une portion de droite exprime Taire du carré construit sur cette droite, et que le produit des deux nombres qui mesurent deux portions de droite n'est autre que l'expression de Taire du rectangle construit sur ces droites.

II s'ensuit que les trois derniers théorèmes énoncés peuvent èlre regardés comme précédemment établis. Ils ne sont d'ailleurs, présentés souâ une autre forme, que les théorèmes H,

III et IV sur les relations métriques entre certains éléments d'un triangle.

Cependant, on en donne ici, par des considérations d'équivalence de figures, une démonstration directe, d'où Ton pourrait inversement déduire les relations métriques qui leur correspondent.