CHAPITRE VI

§ I. — Notions préliminaires.

70. On a défini le plan (9) : une surface telle que toute droite qui y a deux de ses points y est tout entière contenue. Et Ton a dit que cette surface doit être regardée comme indéfinie dans tous les sens.

De sorte que pour représenter un plan, on ne peut en considérer qu'une portion limitée à laquelle on donne ordinairement la forme d'un parallélogramme.

71. Détermination da plan. -^ De la définition du plan, on déduit la proposition suivante relative à la détermination de cette surface :

Un plan est déterminé :

i"" par une droite et un point extérieur à cette droite ;

3^ par trois points non en ligne droite ;

3"* par deux droites concourantes ;

4® par deux droites parallèles.

72. Génération du plan. — Cette proposition permet d'établir qu'une droite mobile engendre un plan :

1® lorsqu'elle passe par un point fixe et qu'elle est assujettie dans son mouvement à rencontrer une droite qui ne contient pas le point fixe ;

2® lorsqu'elle reste parallèle à elle-même et qu elle est assujettie dans son mouvement à rencontrer une autre droite.

73. Positions relatives d*ane droite et d'un plan. — Une autre conséquence de la définition du plan est qu'une droite peut

avoir trois positions différentes par rapport à un plan et n'en peut avoir que trois :

i^ La droite et le plan ont deux points communs : la droite est alors tout entière contenue dans le plan;

2<> La droite et le plan n'ont qu'un point commun : on dit que la droite et le plan se coupent ; le point commun s'appelle le pied de la droite sur le plan ;

3<^ La droite et le plan n'ont aucun point commun : on dit que la droite et le plan sont parallèles.

74. PositioQS relatives de deux plans. — Deux plans peuvent avoir trois positions différentes l'un par rapport à l'autre.

1^ On sait déjà (9) que deux plans qui ont au moins trois points communs non situés en ligne droite coïncident dans toute leur étendue.

^° Si deux plans distincts ont un ou plusieurs points communs, on dit que ces deux plans se coupent^ et l'on démontre que leur intersection est une droite qui contient tous les points communs.

S"" Si deux plans distincts n'ont aucun point commun quelque loin qu'on les prolonge, on dit que ces deux plans sont parallèles,

75. Positions relatives de deux droites. — Dans respace, deux droites sont situées ou non dans un même plan. Dans le premier cas, elles peuvent être :

1° concourantes ;

2» parallèles ;

3° coïncidentes.

Dans le second cas, elles ne peuvent être :

4"" ni concourantes, ni parallèles, ni coïncidentes.

De là la nécessité d'introduire dans la définition du parallélisme de deux droites la condition de situation des deux droites dans un môme plan. De même, lorsqu'on veut prouver que deux droites de l'espace sont parallèles, faut-il en général démontrer à la fois qu'elles sont situées dans un même plan et qu'elles n'ont aucun point commun.

DROITES ET PLANS DE l'eSPâCB 747

On démontre que, dans Tespace, par un point pris hors d'une droite on peut mener une parallèle à cette droite et l'on ne peut en mener qu'une.

§ II. ~ Droites et plans pexpendioulaires.

76. Lorsqu'une droite coupe un plan, on dit qu'elle est per^ pendiculaire à ce plan quand elle est perpendiculaire à toutes les droites qui peuvent satisfaire à la double condition de passer par son pied et d'être situées dans le plan. On dit aussi qu'un tel plan est perpendiculaire à la droite.

Une droite qui coupe un plan sans lui être perpendiculaire est dite oblique au plan.

L'existence de la perpendiculaire au plan est mise en évidence parle théorème suivant :

I. Une droite qui^ en coupant un plan, est perpendiculaire à deux droites situées dans ce plan et passant par son pied^ est perpendiculaire au plan.

On établit d'abord qu'il est toujours possible d'avoir une droite perpendiculaire à deux droites d'un même plan.

II. Par un point donné, on peut mener un plan perpendiculaire à une droite donnée et Von ne peut en mener qu'un.

Autrement dit :

Un point détermine un plan assujetti à être perpendiculaire à une droite donnée.

De ce théorème on peut rapprocher le suivant :

m. Le lieu des perpendiculaires à une droite en un point donné est le plan mené par ce point perpendiculairement à celte droite.

IV. Par un point donnée on peut mener une droite perpendiculaire à un plan et Von ne peut en mener qu'une.

Autrement dit :

Un point détermine une droite assujettie à être perpendiculaire à un plan donné.

V. Si d'un point pris hors d'un plan on mène la perpendiculaire et diverses obliques à ce plan :

i® La peryendiculaire est plus courte que toute oblique ;

748 GÉOMÉTRIE ÉLÉBf£NTAIBE THÉORIQUE

â^ Deux obliques dont les pieds sont à égale distance de celui de la perpendiculaire sont égales ;

3^ Deux obliques dont les pieds sont à des distances inégala de celui de la perpendiculaire sont inégales et la plus longue est 4:elle pour laquelle cette distance est la plus grande ; et réciproquement.

La perpendiculaire étant ainsi la plus courte des lignes qu'on puisse mener à un plan d'un point extérieur, c'est elle que Ton prend pour exprimer la distance d'un point à un plan et <îette distance est alors représentée par le segment de la perpendiculaire compris entre son pied sur le plan et le point extérieur.

Le théorème précédent a pour autre conséquence que le lieu des points d'un plan également distants d'un point donné est une circonférence dont le centre est le pied de la perpendiculaire menée du point au plan.

\I. Si du pied d'une perpendiculaire à un plan on mène une perpendiculaire à une droite quelconque duplan^ et si l'on joint par une droite le pied de cette seconde perpendiculaire à un point quelconque de la première, on a une droite perpendiculaire à la droite du plan.

On donne à ce théorème le nom de théorème des trois perpendiculaires.

§ III. — Droites et plans parallèles.

77. Nous avons défini plus haut ce qu'on entend par droites parallèles (28, 75), droite parallèle à un plan (73) et plans parallèles (74).

De ces définitions on déduit les théorèmes qui suivent:

78. Droites parallèles. — I. Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.

II. Lorsque deux droites sont parallèles^ tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

III. Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre Aies.

DROITES ET PLANS DE l' ESPACE 74^

79. Droites parallèles à im plan. — - IV. Une droite extérieure à un plan et parallèle à une droite de ce plan est parallèle au plan.

Ce théorème aieten évidence Texistence d'une droite parallèle à un plan.

V. Lorsqu'une droite est parallèle à un plan, l'intersection de ce plan et d'un autre plan quelconque mené par la droite est parallèle à cette droite.

On déduit de cette proposition qu'une droite et un plan parallèles sont partout également distants,

VI. Lorsqu'une droite est parallèle à un plan, la parallèle à cette droite menée par un point du plan est tout entière contenue dans ce plan.

VU. Deuj: plans qui se coupent et qui sont parallèles à une même droite ont leur intersection parallèle à cette droite.

80. Plans parallèles. — VIII. Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Ce théorème met en évidence l'existence des plans parallèles .

IX. Les intersections de deux plans parallèles par un troisième sont parallèles.

X. Par un point extérieur à un plan on peut mener à ce plan un plan parallèle et l'on ne peut en mener qu'un.

Autrement dit :

Un point détermine un plan assujetti à être parallèle à un autre plan donné.

De ce théorème on peut rapprocher le suivant :

Le lieu des droites menées d'un point donné parallèlement à un plan donné est le plan parallèle au premier mené par cepoint.

XI. Lorsque deux plans sont parallèles, toute perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.

XII. Deux plans parallèles à un troisième sont parallèles entre eux.

XIII. Les segments de deux droites parallèles interceptés par deux plans parallèles sont égaux.

Et si les droites parallèles sont perpeixdiculaires aux plans.

2^ Deux obliques dont les pieds sont à égale distance de celui de la perpendiculaire sont égales ;

3® Deux obliques dont les pieds sont à des distances inégales de celui de la perpendiculaire sont inégales et la plus longue est <:elle pour laquelle cette distance est la plus grande ; et réciproquement.

Le théorème précédent a pour autre conséquence qae le lieu des points d'un plan également distants d'un point donné est une circonférence dont le centre est le pied de la perpendiculaire menée du point au plan,

\I. Si du pied d'une pei'pendiculaire à un plan on mène uw perpendiculaire à une droite quelconque du plan^ et si l'on joint par une droite le pied de cette seconde perpendiculaire à un point quelconque de la première, on a une droite perpendiculaire à la droite du plan.

On donne à ce théorème le nom de théorème des trois perpendiculaires.

§ III. — Droites et plans parallèles.

77. Nous avons défini plus haut ce qu'on entend par droites parallèles (28, 75), droite parallèle à un plan (73) et plans parallèles (74).

De ces définitions on déduit les théorèmes qui suivent :

78. Droites parallèles. — I. Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.

II. Lorsque deux droites sont parallèles, toutplan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

III. Deu^ droites parallèles à une troisième sont parallèles entre

Aies.

79. Droites parallèles à un plan. — IV. Une droite extérieure à un plan et parallèle à une droite de ce plan est parallèle au plan.

Ce théorème met en évidence Texistence d'une droite parallèle à un plan.

V. Lorsqu'une droite est parallHe à un plan^ tintersection de ce plan et d'un autre plan quelconque mené par la droite est parallèle à cette droite.

On déduit de cette proposition qu'une droite et un plati parallèles sont partout également distants,

VI. Lorsqu*une droite est parallèle à un plan, la parallèle à cette droite menée par un point du plan est tout entière contenue dans ce plan.

VII. Deu^ plans qui se coupent et qui sont parallèles à une même droite ont leur intersection parallèle à cette droite,

80. Plans parallèles. — VIII. Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Ce théorème met en évidence l'existence des plans parallèles .

IX. Les intersections de deux plans parallèles par un troisième sont parallèles,

X. Par un point extéineurà un plan on peut mener à ce plan un plan parallèle et Von ne peut en menei' qu'un.

Autrement dit :

Un point détermine un plan assujetti à être parallèle à un autre plan donné.

De ce théorème on peut rapprocher le suivant :

Le lieu des droites menées d'un point donné parallèlement à un plan donné est le plan parallèle au premier mené par ce point.

XI. Lorsque deux plans sont parallèles^ toute perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à Vautre.

XII. Deux plans parallèles àun troisième sont parallèles entre eux.

XIII. Les segments de deux droites parallèles interceptés par deux plans parallèles sont égaux.

Et si les droites parallèles sont perpeixdiculaires aux plans.

on en déduit que deux plans parall^es sont partout également distants.

XIV. Les segments de deux droites quelconques interceptés par trois plans parallèles sont proportionnels.

XV. Deux angles non situés dans un même plan qui ont leurs côtés respectivement parallèles sont égaux ou supplémentaires et leurs plans sont parallèles.

81. Angle de deux droites quelconques. — Dans un intérêt de généralisation, on a étendu Tidée d'angle au cas de deux droites de l'espace qui ne se rencontrent pas. On appelle, dans ce cas, angles des deux droites ceux que Ton forme en menant par un même point de Tespace deux droites respectivement parallèles aux deux droites envisagées. Si ces angles sont droits, on dit que les deux droites sont perpendiculaires Tune à Tautre .

§ IV. — Angles dièdres.

82. On donne le nom d'angle dièdre, ou plus simplement de dièdrcy à la figure formée par deux demi-plans limités à une

droite commune. La droite est Varête du dièdre, et les demiplans en sont les faces.

Deux angles dièdres sont dits égaux lorsqu'ils sont superposabtes. Dans le cas contraire, qui est général, c'est-àdire lorsque la superposition n'est pas possible, autrement dit lorsque, après avoir fait coïncider les deux arêtes et deux des faces de manière que les deux autres soient d'un même côté que le demi-plan commun, ces deux autres faces ne se recouvrent pas, on dit que les angles dièdres sont inégaux^ de plus, que celui dont la seconde face se trouve dans l'intérieur de l'autre angle dièdre est plus petit que cet autre, et que ce dernier est plus grand que le premier.

83. Si l'on dispose deux angles dièdres de façon que leurs arêtes coïncident ainsi que deux de leurs faces, en ayant soin que les deux autres soient situées de part et d'autre de la face

DROITES ET PLANS DE l'eSPACE 761

commune, Tangle dièdre formé par les faces extrêmes eil dit la somme des angles dièdres considérés. Effectuer cette opération, c'est ajouter deux angles dièdres Tun à Tautre. On conçoit que par la juxtaposition^ de la même manière, d*un troisième angle dièdre à cet angle dièdre total, on aurait la somme de trois angles dièdres, et qu'en continuant ainsi on obtiendrait la somme d'un nombre quelconque d*angles dièdres: cette somme serait indépendante de Tordre dans lequel on ajouterait les dièdres.

84. On se fait une idée exacte de ce qu'on appelle la grandeur d'un angle dièdre en supposant qu'une de ses faces restant fixe, l'autre, d'abord appliquée sur la première, se met k tourner autour de l'arête : la seconde face fait ainsi avec la première un angle dièdre qui va croissant progressivement. Ce mode de génération des angles dièdres, analogue à celui des angles de la Géométrie plane, met en outre en évidence que la grandeur d'un angle dièdre est indépendante de retendue de ses faces,

85. Angles dièdres adjacents. — Deux angles dièdres qui ont à la fois même arête et une face commune, s'ils sont situés de part et d'autre de cette face commune, reçoivent le nom Sangles dièdres adjacents. Cette position de deux angles dièdres n*est autre que celle qui résulterait de leur addition.

86. Plans perpendiculaires. — Lorsqu'un demi-plan rencontre, par la droite qui le limite dans un sens, un plan indéfini, il forme avec celui-ci deux angles dièdres adjacents. Si ces deux angles dièdres sont égaux, on dit que le demi-plan est perpendiculaire sur le plan indéfini ; dans le cas contraire^ on dit qu'il est oblique,

87. Angle dièdre droit. — Un angle dièdre dont l'une des faces est perpendiculaire sur l'autre porte le nom d'angle dièdre droit.

Il est à remarquer que la théorie des angles dièdres présente une analogie complète avec celle des angles de la Géométrie

plane ; c'est ce que vont confirmer la plupart des théorèmes suivants.

I. Par une droite d'un flan on peut mener à ce plan, (Tun côté donnée un demi-plan perpendiculaire^ et Von ne peut en mener qu'un.

Ce théorème a pour corollaire :

Tous les angles dièdres droits sont égaux.

Ce qui revient à dire que Tangle dièdre droit est invariable de grandeur. Cette propriété essentielle et caractéristique Ta fait adopter comme terme de coniparaison. Selon qu'un angle dièdre est plus petit ou plus grand qu'un angle dièdre droit, on lui donne le nom d'angle dièdre aigu ou i' angle dièdre obtus .

Lorsque la somme de deux angles dièdres est égale à an angle droit, Tun quelconque de ces angles dièdres est dit le complément de l'autre et les deux angles sont appelés pour cette raison angles complémentaires.

II. Deux angles dièdres adjacents dont les faces extérieures sont dans un même plan ont leur somme égale à deux angles dièdres droits, et réciproquement.

De la proposition directe se déduisent les deux corollaires :

î^ La somme de tous les angles dièdres consécutifs formés autour dune même arête et d'un même côté dun plan qui contient cette arête y est égale à deux angles dièdres droits,

i^^ La somme de tous les angles dièdres consécutifs formés tout autour d'une même arête est égale à quatre angles dièdres droits.

De la réciproque du théorème II on obtient le corollaire :

Deux demi-plans menés perpendiculairement à un plan par une même droite du plan et de chaque côté de ce plan, sont le prolongement l'un de Vautre.

Le plan formé par les deux demi-plans est dit perpendiculaire à l'autre, et le second, perpendiculaire au premier.

De ce corollaire il suit que par une droite d'un plan on peut mener à ce plan un plan perpendiculaire indéfini dans les deux sens et qu'on ne peut en mener qu'un seul.

Lorsque la somme de deux angles dièdres est égale à deux

DROITES ET PLANS DE l'eSPâCE 753

angles dièdres droits, l'un quelconque de ces angles dièdres est dit le supplément de l'autre et les deux sont appelés pour cette raison angles dièdres supplémentaires.

88. Angles dièdres opposés par rareté. — Si deux angles dièdres sont tels que les faces de Tun sont les prolongements des faces de l'autre^ au delà de Tarète, ils sont dits opposés par Varête.