III. Deux angles dièdres opposés par l'arête sont égaux
89. Plan bissectenr. — Le demi-plan qui partage un angle dièdre en deux parties égales s'appelle le plan bissecteur de Tangle dièdre.
IV. Les plans bissecteurs de deux angles dièdres adjacents supplémentaires sont perpendiculaires entre eux.
V. Les plans bissecteurs de deux angles dièdres opposés par V arête sont le prolongement l'un de l'autre.
On déduit de ces deux théorèmes le corollaire suivant : Les plans bissecteurs des quatre angles dièdres formés par deux
plans qui se coupent forment deux plans perpendiculaires ' entre
eux.
90. Mesure des angles dièdres — Les angles dièdres» dont on a pu définir Tégalité et la somme, sont des grandeurs mesurables ; mais on en ramène la mesure à celle d'angles rectilignes. Cette substitution sera justifiée par ce qui va suivre. ^
On appelle angle rectiligne ou angle plan d'un dièdre, l'angle formé parles deux perpendiculaires menées à Taréte, dans chaque face, par un même point de cette arête.
Il est facile d'établir que Tangle plan d'un dièdre a toujours la même valeur, quelque point que Ton prenne sur l'arête pour le construire.
On démontre en outre les théorèmes suivants :
VI. Deux angles dièdres égaux ont leurs angles plans égaux ^ et réciproquement.
VII, Un angle dièdre droit a pour angle plan un angle droit, et réciproquement.
DAUZAT. — mAthodol. . 48
754 GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE TUÉORIQUE
VIII. Le rapport de deux angles dièdres est égal au rapport de leurs angles plans ^
autrement dit :
Les angles dièdres sont proportionnels à leurs angles plans.
La démonstration entière et rigoureuse de ce théorème se fait comme celle du théorème relatif à la proportionnalité des angles au centre aux arcs interceptés par leurs côtés (42, II),
On déduit de là le théorème relatif à la mesure de l'angle dièdre.
IX. Un angle dièdre a même mesure que son angle plan^ pourvu que Von prenne pour unité d^angle dièdre le dièdre qui a pour angle plan Vunité d'angle.
En général, on abrège cet énoncé en disant simplement : Un angle dièdre a pour mesure celle de son angle plan,
X. Deux plans parallèles rencontrés par un troisième forment des angles dièdres alternes-internes égaux^ des angles dièdres alternes-externes égaux ^ des angles dièdres correspondants égatix^ des angles dièdres intérieurs d' un même côté supplémentaires^ des angles dièdres extérieurs d'un même côté supplémentaires.
XI. Deux angles dièdres qui ont leurs faces respectivement parallèles sont égaux ou supplémentaires.
^ V.— Plans perpendiculaires.
91. Sur les plans perpendiculaires, précédemment définis, on démontre les théorèmes suivants :
I. Lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan, tout plan mené par cette droite est perpendiculaire au premier plan.
II. Lorsque deux plans sont perpendiculaires entre euXy toute droite menée dans l'un de ces plans perpendiculairement à leur intersection est perpendiculaire à Vautre plan.
III. Lorsque deux plans sont perpendiculaires entre eux, toute droite menée par un point de Vun de ces plans perpendiculairement à Vautre est tout etitière contenue dans le premier plan.
IV. Lorsque deux plans qui se coupent sont perpendiculaires à
DROITES ET PLANS DE L'ESPâCE 755
MM troisième plan, leur intersection est perpendiculaire à ce troisième plan.
V. Par une droite non perpendiculaire à un plan on peut mener un plan perpendiculaire au premier et Von ne peut en mener qu'un seul.
En rapprochant de ce théorème la dernière conséquence qui découle du théorème Ilsur les angles dièdres (87), on peut formuler la proposition suivante qui les contient Tun et l'autre :
Une droite quelconque située ou non dans un plan^ pourvu qu'elle ne lui soit pas perpendiculaire, détermine un plan perpendiculaire au premier.
§ VI. — Angle d*une droite et d'un plan.
92. On appelle projection d'un point sur un plan le pied delà perpendiculaire menée de ce point sur le plan.
D'après cela, on entend par projection d'une ligne sur un plan le lieu des projections de tous ses points sur ce plan.
