I. La projection d'une droite sur un plan est une droite

II. Lorsqu'une droite est oblique à un plan, l'angle aigu qu'elle fait avec sa projection sur ce plan est plus petit que celui qu'elle fait avec toute autre droite passant par son pied dans le plan.

Cet angle minimum est ce qu'on appelle V angle d'une droite et d'un plan.

III. Lorsque deux plans se coupent y patmi toutes les droites que l'on peut mener par un point dans l'un de ces plans, celle qui fait le plus grand angle avec l'autre plan est la perpendiculaire à ^intersection des deux plans.

Lorsque le second plan est horizontal, la droite du premier qui fait avec l'autre le plus grand angle s'appelle ligne de plus grande pente de ce premier plan.

Il esta remarquer que toutes les lignes de plus grande pente d'un plan sont parallèles entre elles et quel'angje constant qui mesure cette plus grande pente est l'angle plan .du dièdre forûié par les deux plans.

756 GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE THÉORIQL'E

ii Vn. — Plus courte distance de deux droites.

93 . Lorsque deux droites sont quelconques dans Tespace, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent pas être contenues dans un même plan» elles jouissent des propriétés qui font Tobjet du théorème suivant :

Pour deux droites non situées dans un même plan :

V* il existe une perpendiculaire commune et une seule ;

2* la portion de cette perpendiculaire commune comprise entre les deux droites exprime la plus courte distance de ces deux droites.

Pour obtenir en position et en grandeur cette plus courte dis> tance, il suffit de mener par Tune des droites un plan parallèle à l'autre, de déterminer sur ce plan la projection de la seconde droite, et d'élever par l'intersection de cette projection et delà première droite une perpendiculaire au plan.

§ Vm. — Angles polyèdres.

94. Définitions. — Lorsque plusieurs plans se coupent en passant par un même point, si ces plans sont limités à leurs intersections et si ces intersections sont elles-mêmes limitées d'un côté à leur point commun, la figure formée s'appelle un angle polyèdre ou un angle solide. Le point commun à tous les plans est le sommet de l'angle polyèdre, les demi-droites d'intersection en sont les arêtes^ les angles plans de ces demidroites prises deux à deux dans les plans considérés en sont les /aces et les dièdres de ces plans en sont les dièdres.

Le plus simple de tous les angles polyèdres a trois faces : on lui donne le nom d'angle trièdre ou plus simplement de ' trièdre. *

Si un angle polyèdre se trouve tout entier d'un même coté ; du plan indéfiniment prolongé de chacune de sesfaces, on dit qu'il est convexe. Dans le cas contraire il est concave.

Un angle trièdre est toujours convexe.

Si dans un angle polyèdre, on prolonge les arêtes au delà da

sommet, on forme un second angle polyèdre qu'on appelle le symétrique du premier.

Deux angles polyèdres symétriques sont composés des mêmes éléments, faces et dièdres, et néanmoins ilsnesont pas superposables, parce que ces éléments y sont disposés dans un ordre inverse.

Pour la même raison, deux trièdres symétriques ne sont généralement pas superposables, à moins que le trièdre primitif n*ait deux dièdres égaux.

95. La théorie des trièdres présente une très grande analogie avec celle des triangles : c*est ce que vont mettre en évidence les propositions suivantes qui la constituent.

I. Dans un angle tnèdre^ une face quelconque est plus petite que la somme des deux autres.

II. Dans un angle polyèdre^ la somme des faces est plus petite que quatre angles droits.

Ces deux théorèmes montrent que pour former un trièdre avec trois faces données, deux conditions sont nécessaires : 1® que la plus grande face soit moindre que la somme des deux autres ; 2"" que la somme des trois faces soit inférieure à quatre angles droits. On démontre aussi que ces deux conditions sont suffisantes.

m. Si un angle trièdre a deux dièdres égaux ^ les faces opposées à ces dièdres sont égales,

IV. Si un angle trièdre a deux dièdres inégaux, les faces opposées à ces dièdres sont inégales et au plus grand dièdre est opposé e la plus grande face.

Les réciproques de ces deux propositions sont nécessairement vraies d'après la règle du n* 26, VU.

96. Trièdres supplémentaires. — Lorsque par le sommet d'un trièdre on mène à chaque face une demi-droite perpendiculaire, située du côté de Tarète opposée, on forme un nouveau trièdre qu'on appelle le trièdre supplémentaire du premier.

\, Siun angle trièdre est supplémentaire d'un autre^ récipYoquement cet autre est supplémentaire du premier^

Cette propriété de deux trièdres supplémentaires leur a fait donner aussi le nom de trièdres réciproques.

VI. Si deux angles trièdres sont supplémentaires^ chaque dièdre de Vun est le supplément de la face opposée de Vautre.

On trouve dans cette proposition la justification de Texpres. sion trièdres supplémentaires.

Il résulte du théorème II précédent que dans un angle trièdre la somme des faces est comprise entre zéro et quatre droits. La proposition correspondante de celle-ci, qu'on dil surtout la corrélative^ est la suivante :

VII. Dans un angle trièdre^ la somme des angles dièdres est comprise entre deux droits et six droits.

D'après le théorème I précédent, dans un angle trièdre, la plus grande face est plus petite que la somme des deux autres. Cette proposition a pour corrélative celle qui suit :

VIII. Dans un angle trièdre, le plus petit angle dièdre augmenté de deux droits est plus grand que la somme des deux autres, '. Ces deux derniers théorèmes, VII et VIII, mettent ce fait en évidence que pour former un trièdre avec trois dièdres donnés, deux conditions sont nécessaires : i^ que la somme des trois dièdres soit comprise entre deux droits et six droits ; 2** que le plus petit dièdre augmenté de deux droits devienne plus grand que la somme des deux autres. On démontre aussi que ces deux conditions sont suffisantes.

Un trièdre est rectangle, birectangle ou trirectangle suivant qu'il a un dièdre droit, qu'il en a deux ou qu'il en a trois.

97. Cas d'égalité des trièdres. — Comme les triangles, les trièdres ont six éléments, qui sont trois faces et trois dièdres ; il s'ensuit que lorsque deux trièdres sont égaux, ils ont nécessairement leurs six éléments égaux chacun à chacun, ce qui donne six conditions auxquelles satisfont ces deux trièdres. Réciproquement, deux trièdres sont égaux si les six élémenU de l'un sont respectivement égaux aux six éléments de l'autre et semblablement disposés. Toutefois, pour affirmer que deux trièdres sont égaux, il n'est pas nécessaire d'être assuré que les six conditions auxquelles ils sont subordonnés sont satis-

faites. Cette égalité résulte de celle de trois éléments disposés dans le même ordre sous la réserve que ces éléments forment un des groupes suivants : une face et les deux dièdres adjacents» un dièdre et les deux faces qui le comprennent, les trois faces» les trois dièdres. C'est ce qu'établit le théorème qui suit :