CHAPITRE VIF
§ I. — Définitions.
99. On donne le nom de polyèdre à tout corps limilé de toutes parts par des portions de plan. Ces portions de plan ou polygones sont les faces du polyèdre ; leur somme en forme la surface. Les côtés de ces polygones, les dièdres et les angles solides des faces, les sommets de ces angles sont respectivement les arêtes, les dièdres, les angles solides et les sommets du polyèdre. Toute droite qui joint deux sommets d'un polyèdre non situés sur une même face est une diagonale.
Les polyèdres reçoivent des noms qui rappellent le nombre de leurs faces. Le plus simple de tous est le tétraèdre, qui a quatre faces. On donne le nom d'hexaèdre, d'octaèdre, de dodécaèdre, dHcosaèdre aux polyèdres de six, huit, douze et vingt faces.
Un polyèdre est dit convexe lorsqu'il est tout entier d*un même côté de chacune de ses faces indéfiniment prolongées. Toutes ses faces sont des polygones convexes et tous ses angles solides sont convexes.
D'après cela, on conçoit qu'un plan quelconque rencontre la surface d'un tel polyèdre suivant un polygone convexe et, conséquemment, qu'une droite ne puisse rencontrer cette même surface en plus de deux points.
Entre les différentes formes de polyèdres, il y a Heu de considérer tout particulièrement le prisme et la pyramide.
§ II. —Prisme.
100. Définitions. — Uû prisme est un polyèdre dont deux faces sont situées dans des plans parallèles et dont les autres sont des parallélogrammes qui ont chacun un côté commun avec chacune des deux premières faces. Ces deux faces à plans parallèles sont les bases du prisme et ce sont deux polygones égaux ; les autres faces sont les faces latérales du prisme. L-ensemble des faces latérales forme la surface latérale du solide ; en y ajoutant les deux bases, on a la surface totale.' Les arêtes déterminées par les intersections des faces latérales entre elles sont les arêtes latérales du prisme ; elles sont toutes égales et parallèles entre elles. La portion de droite qui mesure la distance des deux bases est la hauteur du prisme.
On dit qu'un prisme est triangulaii^e^ quadrangulaire, pentagonal, etc., lorsque ses bases sont des triangles, des quadrilatères, des pentagones, etc.
On établit très facilement qu'un prisme est déterminé par sa base et Tune de ses arêtes latérales, donnée en longueur et en direction.
Suivant que la direction des arêtes latérales d'un prisme est perpendiculaire ou non à ses bases, ce prisme est droit ou oblique. Et tout prisme droit dont les bases sont des polygones réguliers est un prisme régulier.
Le solide compris entre une des bases d'un prisme et une section non parallèle à cette base, mais rencontrant toutes les arêtes latérales du prisme d'un môme côté de la base considérée, est un tronc de prisme.
101 . PaPûUéléplpède. — Entre les différentes formes de prismes, il y a lieu de considérer tout particulièrement le parallélépipède y prisme à base quadrangulaire, dont toutes les faces sont des parallélogrammes. C'est sur ses propriétés que repose toute la théorie des polyèdres.
Comme le prisme en général dont il n*est qu'un cas particu-
lier, le parallélépipède peut être droit ou oblique. Quand il est droit et que ses bases sont des rectangles, les faces latérales affectent aussi la forme rectangulaire ; il porte alors le nom de parallélépipède rectangle. A son tour, ce dernier présente un cas particulier intéressant, celui où toutes ses faces sont des carrés ; on l'appelle cube.
Il est facile d*établir qu'un parallélépipède est déterminé par un de ses angles trièdres et la longueur de chacune des arêtes de ce trièdre, qu'un parallélépipède rectangle est déterminé par les longueurs des trois arêtes qui partent d'un même sommet, enfin qu'un cube est déterminé par la longueur d'une de ses arêtes.
Dans un parallélépipède rectangle, les longueut*s des trois arêtes issues d un même sommet sont appelées les trois dimensions du solide.
102. Propriété générale du prisme. — I. Dans un prisme^ les sections faites par deux plans parallèles sont deux polygones égaux.
La section obtenue par un plan perpendiculaire aux arêtes latérales du prisme est une section droite.
Propriétés particulières du parallélépipède. — II. Dans un parallélépipède^ les faces opposées sont des parallélogrammes égaux, dont les plans sont parallèles.
De ce théorème découlent les conséquences suivantes :
i ° î/n parallélépipède est un prisme dans lequel on peut prendre pour bases deux faces opposées quelconques.
2** La section faite dans un parallélépipède par un plan qui rencontre quatre arêtes latérales est un parallélogramme.
III. Dans un parallélépipède, les quatre diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales.
On appelle centre du parallélépipède le point où se fait cette rencontre commune de ses diagonales.
Lorsque le parallélépipède est rectangle, les quatre diagonales sont égales.
De là on tire :
1* que le carré de la diagonale £un parallélépipède rectangle est égal à la somme des carrés des trois dimensions du parallélépipède ;
2** que le carré de la diagonale d'un cube est égal au triple carré de l'arête du cube.
103. Aire latérale du prisme. — IV. L'aire latérale d'un prisme a pour mesure le produit du périmètre de la section droite par l'arête latérale.
Dans le cas particulier où le prisme est droit, l'aire latérale a pour mesure le produit du périmètre de la base du prisme par sa hauteur^ car la section droite devient égale à la base, et Tarôte latérale égale à la hauteur.
Il est évident que Vaire totale d'un prisme est égale à la somme de son aire latérale et du double de Taire de sa base.
104. Volume du prisme. — On appelle volume d'un corps, rétendue de la portion d'espace que ce corps occupe.
Lorsque deux corps sont superposables, on dit qu'ils sont égaux ; et si Ton juxtapose les uns aux autres plusieurs corps de manière qu'il n'y ait de pénétration dans aucune de leurs parties, on dit que le corps résultant est la somme des corps qui le composent. Dans le premier cas, on dit aussi que les volumes des deux corps ou des deux figures sont égaux^ et dans le second, que le volume du corps ou de la figure résultante est égal à la somme des volumes des corps ou des figures composantes.
Les volumes sont donc des grandeurs mesurables.
Il résulte aussi de ce qui précède que les volumes de deux figures peuvent être égaux, c'est-à-dire exprimés par le même nombre sans que ces figures soient superposables : on dit alors que les deux figures sont équivalentes.
La mesure des volumes ne peut pas s'obtenir par la superposition ; on la déduit de la mesure de certaines lignes des Ggures, en prenant pour unité de volume le volume du cube dont le côté est l'unité de longueur. C'est ce qu'établissent les théorèmes qui vont suivre.
L'unité de volume est ainsi le mètre cube.
Les géomètres ont choisi le cube comme figure de Tunilé de volume de préférence à toute autre figure, telle que le tétraèdre, par exemple — bien que tous les polyèdres soient décomposables en tétraèdres — en raison des complications que présenteraient les propositions sur la mesure des volumes et des difficultés de calcul qui en seraient la conséquence.
Nous ferons précéder les théorèmes relatifs à la mesure des volumes des trois propositions préliminaires suivantes :
V. Deux prismes droits de même base et de même hauteur sont égaux,
VI. Un prisme oblique est équivalent à un prisme droit ayant pour base et pour hauteur respectives la section droite el l'arête latérale du prisme oblique,
VU. Dans un parallélépipède ^ le plan mené par deux arêtes opposées détermine deux prismes triangulaires équivalents .
En partant de ce dernier théorème et du fait évident que tout prisme est décomposable en prismes triangulaires, on rattache la mesure du volume d'un prisme quelconque à celle du volume du parallélépipède.
Aussi commence-t-on la théorie de la mesure du prisme par les propositions suivantes relatives à la mesure du parallélépipède, en plaçant tout d'abord celles qui ont trait au parallélépipède rectangle parce que c'est la figure qui se rapproche le plus de celle de l'unité de volume adoptée et qu'un parallélépipède quelconque est équivalent à un parallélépipède rectangk de même base et de même hauteur.
VIII. Les volumes de deux parallélépipèdes rectangles de même base sont entre eux comme les hauteurs de ces parallélépipèdes.
Autrement dit : Les volumes de deux parallélépipèdes rectangles qui ont deux dimensions communes sont entre eux comme les troisièmes dimensions de ces parallélépipèdes,
IX. Les volumes de deux parallélépipèdes rectangles de même hauteur sont entre eux comme les bases de ces parallélépipèdes, autrement dit, comme les produits de leurs deux autres dimensions.
X. IjCs volumes de deux parallélépipèdes rectangles quelconques sont entre eux comme les produits des trois dimensions de ces para llélépipèdes.
On déduit de là, sachant que l'unité de volume et Tunité d*aire sont respectivement le cube et le carré qui ont Tunité de longueur pour c6té :
XI. Le volume d'un parallélépipède rectangle a pour mesure le produit des deux nombres qui mesurent respectivement sa base et sa hauteur y autrement dit, le produit des trois nombres qui mesurent respectivement ses trois dimensions.
Ce théorème, dont Tapplication est très fréquente, s'énonce généralement d'une manière incorrecte, mais que Tusage a consacrée parce qu'elle est plus simple^ et qui est la suivante :
Le volume d'un parallélépipède rectangle est égal au produit de sa base et de sa hauteur ^ ou au produit de ses trois dimensions,
La mesuie du volume du parallélépipède conduit à ce corollaire :
Le volume dun cube a pour mesure le cube de son côté.
Comme on intend par produit de lignes le produit des nombres qui mesurent ces lignes, on dit le cube d'une droite pour le cube iu nombre qui mesure cette droite.
XII, Le vdnme d'un parallélépipède droit a pour mesure le produit de s base par sa hauteur,
Xlfl. Le olume d'un parallélépipède quelconque a pour mesure le produit t sa base par sa hauteur.
De ce délier théorème découlent les corollaires suivants :
1® Deux prallélépipèdes de bases équivalentes et de même hauteur sonéquivalents ;
,2* Deux frallélépipèdes de bases équivalentes sont entre eux comme leur9.auteurs ;
3° Deux frallélépipèdes de même hauteur sont entre eux comme leursases ;
4* Deux pêallélépipèdes quelconques sont entre eux comme les produits resptifs de leur base par leur hauteur.
XIV. Le iume d'un prisme triangulaire a pour mesure le produit de sùase par sa hauteur.
de centre de la figure. Dans un parallélépipède, le point de concours des diagonales est le centre de la figure.
â^ Deux points sont symétriques par rapport à une droite lorsque cette droite est perpendiculaire à celle qui joint les deux points et la divise en deux parties égales.
Et Ton dit que deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsque Tune d'elles est Tensemble des points symétriques des points de l'autre par rapport à la droite, que Ton appelle axe de symétrie.
Lorsque dans une figure tout point a son symétrique sur la Ogure môme par rapport à une droite, celle-ci prend le nom d'axe de la figure. Dans un parallélépipède rectangle, les trois droites qui joignent respectivement les centres des faces opposées sont les trois axes de la figure.
3° Deux points sont symétriques par rapport à im plao lorsque ce plan est perpendiculaire à la droite qui joint les deux points et la divise en deux parties égales.
Et Ton dit que deux figures sont symétriques par rapport à un plan lorsque Tune d'elles est l'ensemble des points symétriques des points de Tautre par rapport à ce plan, que Ton appelle plan de symétrie.
Lorsque dans une figure tout point a son symétrique sur la figure même par rapport à un plan, celui-ci prend le nom de plan de symétrie de la figure. Dans un parallélépipède rectangle, les trois pians menés respectivement par les milieux de trois arêtes issues d'un même sommet et perpendiculairement à chacune d'elles sont les trois plans de symétrie de la figure. Dans un cube, les trois plans menés respectivement par les milieux des trois arêtes issues d'un même sommet et perpendiculairement à chacune d'elles, et les six plans menés par deux arêtes opposées sont les neuf plans de symétrie de la figure. Dans un tétraèdre régulier, les six plans que déterminent chaque arête et le milieu de l'arête opposée sont les six plans de symétrie de la figure.
On démontre que deux figures symétriques par rapport ù un axe sont superposables. Il s'ensuit que la symétrie par rapport
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à ane droite ne présente aucun intérêt spécial en dehors de cette égalité de figures.
110. Les deux autres modes de symétrie donnent lieu aux théorèmes suivants :
I. Deux figures respectivement symétriques d'une troisième par rapport à deux centres différents sont superposât les.
De là on déduit ce corollaire :
La forme et Vorientation d'une figure symétrique d'une autre sont indépendantes du centre de symétrie,
II. Deux figures respectivement symétriques d'une troisième par rapport à un plan et par rapport à uji centre sont superposables .
Autrement dit : Si deux figures sont symétriques dans un des deux modes de symétrie^ par rapport à un plan ou par rapport à un points on peut toujours les placer de manière qu'elles soient symétriques dans Vautre mode.
Ce théorème conduit aux deux corollaires qui suivent :
1** Deux figures respectivement symétriques d'une troisième par rapport à un plan quelconque et par rapport à un point quelconque sont superposables ;
2* Deux figures respectivement symétriques d'une troisième par rapport à deux plans quelconques sont superposables.
Et de Tensemble de ces propositions on tire les deux conséquences :
i® Une figure donnée n'a qu'une figure symétrique ;
2^ Dans une démonstration sur les figures symétriques, on peut choisir tel mode de symétrie — par rapport à un centre ou par rapport à un plan — qui conduit le plus facilement au résultat demandé.
III. La figure symétrique d'une droite est une droite. Les corollaires suivants découlent de ce théorème :
1* La figure symétrique d'une portion de droite est une portion de droite égale; 2^ La figure symétrique d'un angle est un angle égal ; 3« Deux droites symétriques par rapport à un point sont pareil-
de centre de la figure. Dans un parallélépipède, le point de concours des diagonales est le centre de la figure.
2° Deux points sont symétriques par rapport à une droite lorsque cette droite est perpendiculaire à celle qui joint les deux points et la divise en deux parties égales.
Et l'on dit que deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsque Tune d'elles est Tensemble des points symétriques des points de l'autre par rapport à la droite» que Ton appelle axe de symétrie.
Lorsque dans une figure tout point a son symétrique sur la figure môme par rapport à une droite, celle-ci prend le nom d'axe de la figure. Dans un parallélépipède rectangle, les trois droites qui joignent respectivement les centres des faces opposées sont les trois axes de la figure.
3"^ Deux points sont symétriques par rapport à un plan lorsque ce plan est perpendiculaire à la droite qui joint les deux points et la divise en deux parties égales.
Et l'on dit que deux figures sont symétriques par rapport à un plan lorsque Tune d'elles est l'ensemble des points symétriques des points de Tautre par rapport à ce plan, que Ton appelle jjlan de symétrie.
Lorsque dans une figure tout point a son symétrique sur la figure même par rapport à un plan, celui-ci prend le nom de plan de symétrie de la figure. Dans un parallélépipède rectangle, les trois plans menés respectivement par les milieux de trois arêtes issues d'un même sommet et perpendiculairement à chacune d'elles sont les trois plans de symétrie de la figure. Dans un cube, les trois plans menés respectivement par les milieux des trois arêtes issues d'un même sommet et perpendiculairement à chacune d'elles, et les six plans menés par deux arêtes opposées sont les neuf plans de symétrie de la figure. Dans un tétraèdre régulier, les six plans que déterminent chaque arête et le milieu de l'arête opposée sont les six plans de symétrie de la figure.
On démontre que deux figures symétriques par rapport à un ^ axe sont super po sables. Il s'ensuit que la symétrie par rapport
aune droite ne présente aucun intérêt spécial en dehors de cette égalité de figures.
110. Les deux autres modes de symétrie donnent lieu aux théorèmes suivants :
I. Deux figures respectivement symétriques <Pune troisième par rapport à deux centres différents sont superposables.
De là on déduit ce corollaire :
La forme et V orientation d'une figure symétrique d'une autre sont indépendantes du centre de symétrie .
II. Deux figures respectivement symétriques d'une troisième par rapport à un plan et par rapport à un centre sont superposables .
Autrement dit : Si deux figures sont symétriques dans un des deiuc modes de symétrie, par rapport à un plan ou par rapport à un point y on peut toujours les placer de manière qu'elles soient symétriques dans Vautre mode»
Ce théorème conduit aux deux corollaires qui suivent :
4® Deux figures respectivement symétriques d'une troisième par rapport à un plan quelconque et par rapport à un point quelconque sont superposables ;
2* Deux figures respectivement symétriques d'une troisième par rapport à deux plans quelconques sont superposables.
Et de Tensemble de ces propositions on tire les deux conséquences :
1* Une figure donnée na qu'une figure symétrique ;
V Dans une démonstration sur les figures symétriques, on peut choisir tel mode de symétrie — par rapport à un centre ou par rapport à un plan — qui conduit le plus facilement au résultat demandé.
111. La figure symétrique d^une droite est une droite. Les corollaires suivants découlent de ce théorème :
1* La figure symétrique d'une portion de droite est une portion de droite égale; 2^ La figure symétrique d'un angle est un angle égal ;
3o Deux droites symétriques par rapporta un point sont parai-
