CHAPITRE VIII

§ I. ^ Oénéralltés sur les surfaoes.

112. DéfiDltlons. — On peut considérer toute surface géométrique comme engendrée par une ligne droite ou courbe qui se déplace d'après une loi déterminée, en conservant ou non sa première forme et qu'on appelle la génératrice de la surface. Ordinairement cette ligne est assujettie à rencontrer dans chacune de ses positions une ou plusieurs autres lignes fixes auxquelles on donne le nom de directrices.

Si la génératrice est une droite assujettie dans son mouvement à la double condition de passer constamment par un point fixe et de s'appuyer sans cesse sur une ligne déterminée quelconque, la surface engendrée est dite conique et le point fixe en est le sommet. En considérant la génératrice comme s^ét^ndant de part et d'autre du sommet, la surface conique comprend deux parties, séparées par le sommet et qu'on appelle les deux nappes de cette surface.

Lorsque la directrice est une droite, la surface conique se réduit à un flan.

Si la génératrice est une droite assujettie dans son mouvement à la double condition de rester constamment parallèle à elle-même et de s'appuyer sans cesse sur une ligne déterminée quelconque, la surface engendrée est dite cylindrique. On peut considérer cette surface comme un cas particulier de surface conique, dans lequel le sommet est situé à l'infini dans l'un quelconque des sens de la direction commune des génératrices.

113. Propriétés générales des surfaces cylindriques et coniques. — Comme propriétés générales des deux variétés de surfaces que nous venons de définir, nous énoncerons les suivantes :

I. Lés sections faites dans une surface c]/lindnque par deux plans parallèles sont deux figures superposables.

Si l'on considère le volume compris entre une surface cylindrique et deux plans parallèles qui en coupent toutes les génératrices, on a un cylindre, La portion de surface cylindrique qui le limite est la surface latérale du cylindre ; les deux sections planes parallèles en sont les bases et leur distance s'appelle la hauteur du cylindre. Lorsque les bases sont des sections faites par des plans perpendiculaires aux génératrices, c'est-à-dire sont des sections droites, le cylindre est droit, et si» de plus, ces bases sont des cercles, on a un cylindre di^oit à base circulaire,

II . Les sections faites dans une surface conique par deux plans parallèles sont deux figures semblables.

Si Ton considère le volume compris entre une surface conique et un plan qui en coupe toutes les génératrices, dans la partie qui va du sommet au plan, on a un cône. La portion de surface conique qui le limite est la surface latérale du cône ; la section plane en est la base, et la distance de celte base au sommet s'appelle la hauteur du cône. Lorsque la base est un cercle, le cône est circulaire, et si, de plus, la droite qui joint le sommet au centre du cercle est perpendiculaire à la base, on a un cône droit à base circulaire,

III. Dans une surface cylindrique ou conique, le plan déterminé par une génératrice et la tangente menée à une courbe quelconque de la surface au point où. cette courbe rencontre la génératrice ^ contient la tangente menée dans les mêmes conditions à toute autre courbe de la surface.

On donne à ce plan le nom de plan tangent à la surface cylindrique ou à la surface conique le long de la génératrice considérée.