Surfaces de révolution. — Lorsque la génératrice est

assujettie à tourner autour d'une droite fixe à laquelle elle est invariablement liée, la surface engendrée est dite de révolution, La droite fixe est Vaxe de cette surface.

Dans ce mouvement, tout point de la génératrice décrit une circonférence dont le plan est perpendiculaire à Taxe. Ces circonférences, dont les plans sont parallèles entre eux, sont dites les parallèles de la surface. Elles sont des sections droites de cette surface. Il résulte de ces propriétés des parallèles an autre mode de génération des surfaces de révolution ; il consiste dans le mouvement d'une circonférence dont le plan est et reste perpendiculaire à un axe fixe passant par son centre, qui s*appuie constamment, en changeant au besoin de dimensions, sur une ligne de la surface considérée. Cette ligne est la directrice de la surface, et la circonférence en est la génératrice.

Toute section plane d'une surface de révolution qui passe par l'axe, s'appelle méridien, et la ligne qui est Tintersection de la surface et du plan porte le nom de méridienne. Tous les méridiens d'une même surface de révolution sont superposables.

On peut prendre pour génératrice d'une surface de révolution une ligne quelconque de cette surface, mais en général on choisit la demi-méridienne.

Si la demi-méridienne est une droite parallèle à Taxe, la surface engendrée est une surface cylindrique de révolution ;

Si la demi-méridienne est.une droite qui rencontre l'axe, la surface engendrée est une surface conique de révolution ;

Et si la demi-méridienne est une demi-circonférence, la surface engendrée est une surface sphérique, qu'on appelle aussi simplement sphère.

Le volume compris entre une surface cylindrique de révolution et deux sections droites est un cylindre de révolution. C'est ce que nous avons déjà appelé un cylindre droit à base circulaire. Ce volume peut être obtenu par la rotation d'un rectangle autour d'un de ses côtés : le côté opposé est la génératrice de la surface latérale du cylindre, et les deux autres,

rayons égaux des deux bases du cylindre, sont les génératrices de ces bases. La hauteur d'un cylindre de révolution est représentée par son axe ou une de ses génératrices.

Le volume compris entre une surface conique de révolution et un plan perpendiculaire à Taxe, dans la partie qui va du sommet au plan, est un cône de révolution. C'est ce que nous avons déjà appelé un cône droit à base circulaire : ce volume peut être obtenu par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit : l'autre côté de l'angle droit, rayon de la base du cône, est la génératrice de cette base, et l'hypoténuse, la génératrice de la surface latérale. Cette hypoténuse, qui mesure ainsi la longueur commune de toutes les génératrices, prend le nom de côté ou d'apothème du cône. La hauteur d'un cône de révolution est représentée par son axe. L'angle constant que fait cet axe avec une génératrice quelconque de la surface Idlérale s'SippeWe demi-angle au sommet,

§ n. — Cylindre de révolution.

115. Atre latérale. — L'unité d'aire précédemment adoptée, qui est une portion de surface plane, ne peut être superposée à aucune portion de surface courbe ; il s'ensuit que la comparaison des surfaces courbes avec cette unité et par suite leur mesure ne peuvent avoir comme point de départ le procédé de la coïncidence. De là la nécessité de déûnir d'une manière générale l'aire d'une surface courbe, ou bien de donner une définition particulière pour chaque espèce de surface courbe, comme nous allons le faire dans ce qui va suivre.

L'aire latérale d'un cylindre de révolution est la limite vo's laquelle tend l'aire latérale d'un prisme régulier inscrit dans ce cylindre lorsque les faces latérales de ce prisme ^ croissant en nombre d'une manière continue^ tendent indéfiniment vers zéro.

Mais cette définition a besoin d'être justifiée, en montrant que la limite existe et qu'elle est unique, quelle que soit la loi d'après laquelle sont formées les faces latérales des prismes réguliers successifs.

A cet effet, od considère un prisme régulier inscrit dans le cylindre, c'est-à-dire dont la hauteur est égale à celle do cylindre et dont les deux bases sont inscrites dans les circonférences des bases du cylindre; on en fait croître indéfiniment le nombre des faces, par une loi quelconque, et Ton constate que la hauteur du prisme reste constante et égale à celle du cylindre et que le périmètre de sa base tend vers une limite, la circonférence de base du cylindre ; comme à chaque instant Taire latérale du prisme a pour mesure le produit du périmètre de sa base par sa hauteur, on arrive à cette proposition:

I. L'aire latérale d'un cylindre de révolution a pour mesurt U produit de la circonférence de base par sa hauteur.

On démontre que la surface latérale d'un cylindre en général est développable et que celle d'un cylindre de révolution donne par son développement un rectangle dont la hauteur est celle du cylindre et dont la base est égale à la longueur de la circonférence de base du cylindre.

116. Volume. — Par la considération de deux prismes réguliers d'un même nombre de faces latérales, Tun inscrit au cylindre de révolution et l'autre circonscrit, c'est-à-dire ayant môme hauteur que le cylindre et dont les deux bases sont circonscrites aux circonférences des bases du cylindre, on établit que le volume d'un cylindre de révolution est la limite commune des volumes de deux prismes réguliers de bases semblables y Vun inscrit et Vautre circonscrit au cylindre^ lorsque leurs faces latérales^ croissant en nombre d'une manière continue, tendent indéfiniment vers zéro.

Il en résulte la proposition suivante :

II. Le volume d'un cylindre de révolution a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur,

117. Cylindres de révolutloD semblables. — On dit que deux cylindres de révolution sont semblables lorsque leurs hauteurs sont proportionnelles aux rayons de leurs bases, en d'autres termes lorsqu'ils sont engendrés par des rectangles semblables.

Les propriétés essentielles des cylindres de révolution sem-

blables sont résumées dans le théorème suivant, qui est une

conséquence des deux précédents :

m. Lorsque deux cylindres de révolution sont semblables : 1* le rapport de leurs aires latérales ou de leurs aires totales est

égal au rapport des cai*rés de leurs rayons ou de leurs hauteurs; 2® le rapport de leurs volumes est égal au rapport des cubes de

leurs rayons ou de leurs hauteurs.

§ III. — Cône de révolution.

118. Aire latérale. — Pour les raisons invoquées au précé dent paragraphe, nous définirons Vaire latérale d'un cône de révolution et nous dirons qu'elle est la limite vers laquelle tend Vaire latérale d'une pyramide régulière inscrite dans ce cône lorsque les faces latérales de cette pyramide^ croissant en nombre d'une mxinière continue^ tendent indéfiniment vers zéro.

Mais cette définition a aussi besoin d'être justifiée, en montrant que la limite existe et qu'elle est unique, quelle que soit la loi d'après laquelle sont formées les faces latérales des pyramides régulières successives.

A cet effet, on considère une pyramide régulière inscrite dans le cône, c'est-à-dire dont le sommet est celui du cône et dont la base est inscrite dans la circonférence de base du cône ; on en fait croître indéfiniment le nombre des faces par une loi quelconque et l'on constate que Tapothème de la pyramide et le périmètre de sa base tendent respectivement vers deux limites, Tapothème du cône et la circonférence de sa base ; et comme à chaque instant l'aire latérale de la pyramide a pour mesure le demi-produit du périmètre de sa base par son apothème, on arrive à cette proposition :

I. Vaire latérale d'un cône de révolution a pour mesure le demi-produit de la circonférence de base par son apothème.

Ce que l'on exprime sous cette autre forme :

L'aire latérale d'un cône de révolution a pour mesure le produit de son apothème par la circonférence équidistante de sa base et de son sommet.

780 aÉOMÉTBlE ÉLÉMENTAIRE THÉORIQUE

Od démontre que la surface latérale d*uii cône en général est développable et que celle d*un cône de révolution donne par son développement un secteur circulaire dont le rayon et Tare ont respectivement pour longueur Tapothème et la circonférence du cône.

Si Ton mène dans un cône de révolution un plan parallèle à la base, on détermine entre cette base et le plan un solide qu'on appelle tronc de cône de révolution^ et comme les deux cercles qui le limitent ainsi dans deux sens opposés ont leurs plans parallèles et qu'on les nomme les bases du tronc, on dit que le tronc de cône de révolution est à bases parallèles. La distance des deux bases est la hauteur du tronc ; la portion de €Ôté ou d'apothème du cône primitif, le côté ou Y apothème de ce tronc ; la droite qui joint les centres des deux bases en est Vaxe^ et la surface comprise entre les deux bases, la surfact latérale.

Un tronc de cône de révolution à bases parallèles peut être obtenu par la rotation d'un trapèze rectangle autour du côté perpendiculaire aux deux côtés parallèles : le côté fixe est à la fois l'axe et la hauteur du tronc, les deux côtés parallèles sont les rayons générateurs des bases, et le quatrième côté Tapo- Ihème générateur de la surface latérale.

De la définition du tronc de cône de révolution à bases parallèles, il résulte que la surface latérale de ce solide est la différence des surfaces latérales de deux cônes de révolution : de là on déduit cette proposition :

II, L'aire latérale d'un tronc de cône de révolution à bases parallèles a pour mesure le produit de la demi-somme des circonférences des bases par l'apothème.

Ce que Ton exprime encore ainsi :

Laire latérale d'un tronc de cône de révolution à bases parallèles a pour mesure le produit de son apothème par la circonférence équidistante des deitx bases.

De ce que la surface latérale d'un cône est développable, il s'ensuit que celle d'un tronc de cône l'est aussi. Et dans le cas d'un tronc de cône de révolution à bases parallèles, ledévelop-

pement donne un secteur de couronne circulaire dont les rayons sont égaux aux apothèmes du cône primitif et du cône qu'on en a détaché, et dont les arcs ont pour longueurs les circonférences des bases du tronc de cône.

119. Volume. — Par la considération de deux pyramides^ régulières d un même nombre de faces latérales, Tune inscrite au cône de révolution et l'autre circonscrite, c'est-à-dire ayant mèmie sommet que le cône et dont la base est circonscrite à la circonférence de base du cône, on établit que le volume d'un cône de révolution est la limite commune des volumes de daux pyramides régulièi^es^ de bases semblables^ l'une inscrite et l'autrecirconscrite au cône lorsque leurs faces latérales^ ci'oissaut en nom,bre d'une manière contiîiue^ tendent indéfiniment vers zéro.

Il en résulte la proposition qui suit :

III. Le volume d'un cône de révolution a pour mesure le produit de sa base par le tiers de sa hauteur.

Des considérations analogues à la précédente conduisent à Texpression suivante du volume d'un tronc de cône :

IV. Le volume d'un tronc de cône de révolution à bases parallèles est équivalent à la somme des volumes de trois cônes ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc et pour bases respectives les deux bases du tronc et leur moyenne proportionnelle,

120. Cônes de révolution semblables. — On dit que deux cônes de révolution sont semblables lorsque leurs hauteurs sont proportionnelles aux rayons de. leurs bases, en d'autres termes, lorsqu'ils sont engendrés par des triangles rectangles semblables.

Les propriétés essentielles des cônes de révolution semblables sont résumées dans le théorème suivant, qui est une conséquence des théorèmes Jet III :