I. Etant donnés une sphère et un plan

l*» Si la distance du plan au centre de la sphère est plus grande que le rayon, le plan est extérieur à la sphère et n'a aucun point commun avec sa surface ;

2** Si cette distance est égale au rayon^ le plan a un point commun avec la surface de la sphère et n'en a qu'un ;

3® Eyifin, si cette distance est plus petite que le rayon y le plan a une infinité de points communs avec la surface de la sphère ; et réciproquement.

Les réciproques de ces propositions partielles sont les conséquences de la règle précédemment énoncée (25, VU).

Tout plan qui a plus d'un point commun avec la surface d'une sphère est un plan sécant de la sphère, et tout plan qui n'en a qu'un est un plan tangent : ce point s'appelle point de contact.

123. Sections planes . — Un plan sécant d'une sphère détermine dans la sphère une section plane.

La théorie des sections planes de la sphère peut s'établir comme il suit.

n. loute section plane de la sphère est un cercle dont le centre est au pied de la perpendiculaire menée du centre de la sphère au flan.

La grandeur d'une section plane de sphère dépend de la distance du plan sécant au centre de la sphère.

Si le plan sécant passe par le centre de la sphère, le rayon de la section est celui de la sphère, et toutes les sections ainsi obtenues sont égales : on leur donne le nom de grands cercles de la sphère parce que ce sont les sections planes maxima que l'on y peut obtenir.

Si le plan sécant ne passe pas par le centre de la sphère, le rayon de la section est inférieur à celui de la sphère, et l'on démontre qn'il est d'autant plus petit qu'il s'éloigne davantage du centre : ces sections portent le nom de petits cercles de la sphère. Il est facile d'établir que deux petits cercles d'une même sphère dont les plans sont équidistants du centre de cette sphère sont égaux.

III. Une droite ne peut rencontrer la surface (Tune sphère en plus de deux points .

Ej\ rapprochant le mode de démonstration de ce théorème de ce qui a été dit sur les positions relatives d'une droite et d*un cercle, on déduit cette conséquence :

Une droite peut avoir trois positions relatives par rapport à une sphère : elle n'a aucun point commun avec la surface de (a sphère^ elle en a un, ou elle en a deux y suivant que sa distance au centre de la sphère est supérieure^ égale^ ou inférieure au rayon de la sphère^ et réciproquement.

Une droite qui a deux points communs avec la surface d'une sphère est une 5^can^e de la sphère, et une droite qui n'en a qu'un est une tangente : ce point s'appelle le point de contact,

IV. Un grand cercle d'une sphère la divise ainsi que sa surface en deux parties égales.

Chaque partie s'appelle un hémisphère.

V. Deux grands cercles d'une même sphère se coupent mutuellement en deux parties égales.

VI. Trois points quelconques de la surface d'une sphère déterminent un cercle de cette sphère.

VII. Deux points quelconques de la surface d'une sphère déterminent généralement un grand cercle de cette sphère.

Il y a exception lorsque les deux points sont diamétralement opposés.

VIII. Quatre points non situés dans un même plan déterminent une sphère.

Si Ton mène à un cercle quelconque d'une sphère une droite perpendiculaire à son plan et passant par son centre, les deux points où cette droite rencontre la surface de la sphère sont dits les deux pôles du cercle.

il découle de cette définition la conséquence que dans une même sphère tous les cercles parallèles à un même plan ont mêmes pôles.

Les pôles d'un cercle de sphère jouissent de la propriété suivante :

IX. Chaque pôle <Pun cercle d'une sphère est équidistanldetous tes points de ce cercle»

Cette distance rectiligne constante s^appelle, par rapport «a pôle considéré, le rayon polaire du cercle, et Tare de grand cercle qui mesure, sur la sphère, la distance de ce pôle à un point quelconque du cercle envisagé prend le nom de rayon tphérique de ce cercle.

124. Plan tangent. — Le théorème I (122), qui établit Texistence de plans tangents à la sphère, conduit aux corollaires suivants relatifs aux propriétés essentielles de ces plans tangents :

1® Le plan mené perpendiculairement à l'extrémité d'un ratjon de la sphère est tangent à la sphère, et réciproquement ;

2® Par un point de la surface d'une sphère on peut mener un plan tangent à la sphère et Von n'en peut m^ner qu'un ;

3* La sphère et son plan tangent en un point sont extérieurs l'un à l'autre, à l'exception du point commun ;

4* Par un point siitué à l'intérieur d'une sphère on ne peut mener aucun plan tangent à cette sphère ;

5° Le plan tangent en un point à une sphère est le lieu géométrique des tangentes en ce point à toutes les courbes que l'on peut faire passer par ce point sur la surface de la sphère.

Remarque. — Au Heu d'établir Texistence du plan tangent à la sphère pour lui donner ensuite son nom, on aurait pu tout d'abord le définir, comme le font beaucoup de géomètres, sauf à démontrer immédiatement après qu'il existe des plans tangents à la sphère et qu'en chaque point de la surface sphé- Tique on peut en mener un, mais un seul.

À la suite du théorème III on a montré qu'il existe des droites tangentes k la sphère.

On tire de cette proposition les corollaires suivants relatifs aux propriétés essentielles de la tangente à la sphère :

1» La perpendiculaire menée à l'extrémité d'un rayon de la sphère est tangente à la sphère^ et réciproquement ;

2* Le lieu des tangentes à la sphère en un point de sa surface ^st le plan tangent à la sphère en ce point ;

DAUZAT. — MtrHODOL. 50

3* Le lieu des tangentes à la sphère menées par un point extérieur est une surface conique de révolution .

Dans ce dernier cas, le lieu des points de contact des tangentes avec la surface de la sphère est un cercle dont le plan est perpendiculaire à Taxe de la surface conique et en chaque point duquel les deux surfaces ont même plan tangent: on rappelle cercle de contact.

La surface conique est dite circonscrite à la surface sphérique et celle-ci inscrite à la première.

Si Ton imagine que le sommet du cône s*éloigne à Tinfini, on réalise le cas où les tangentes à la sphère sont parallèles à une même direction : le lieu est alors un cylindre circonscrit et le cercle de contact devient un grand cercle de la sphère perpendiculaire à la direction commune des tangentes.

On déduit de tout cela que par un point extérieur à une sphère, ou parallèlement à une direction donnée, on peut mener à cette sphère une infinité de plans tangents.

125. Positions relatives de deux sphèrea. — Quand on considère deux sphères dans leurs positions Tune par rapport à Tautre, il se présente trois cas principaux :

1° les sphères peuvent n'avoir aucun point commun ;

2® elles peuvent avoir un point commun ;

S"" elles peuvent avoir plus d'un point commun.

Ces trois cas sont déterminés par la triple proposition suivante :

X, Etant données deux sphères:

i^ Si la distance des centres est plus grande que la somme des rayons ou plus petite que leur différence^ les deux surfaces sphériques sont extérieures ou intérieures l'une à Vautre et nont aucun point commun;

2° Si la distance des centres est égale à la somme ou à la différence des rayons^ les deux surfaces sphériques ont un point commun;

30 Si la dislance des centres est plus petite que la somme des rayons et plus grande que leur différence^ les deux sur faces sphériques ont une infinité de points communs ;

et réciproquement.

Les réciproques de ces propositions partielles sont les conséquences de la règle précédemment énoncée (25, VU).

Deux surfaces sphériques qui ont plus d'un point commun «ont dites sécantes, et quand elles n'en ont qu'un, elles sont dites tangentes : le point commun s*appelle point de contact .

Il suit de là que deux sphères peuvent avoir Tune par rapport à l'autre cinq positions différentes, correspondant à celles de deux cercles situés dans le même plan. Elles sont :

1^ extérieures, si la distance des centres est supérieure à la somme des rayons;

i'* tangentes extérieurement, si la distance des centres est égale à la somme des rayons;

3^ sécantes, si la distance des centres est inférieure à la somme des rayons et supérieure à leur différence ; . 4*' tangentes intérieurement, si la distance des*" centres est égale à la différence des rayons ;

5° intérieures, si la distance des centres est inférieure à la différence des rayons.

Dans le cas où les centres des deux sphères intérieures coïncident, on dit que ces sphères sont concentriques

XI. Lorsque deux sphères sont sécantes, [^intersection est un cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite des centres et dont le centre est sur cette droite.

On tire de cette proposition les corollaires suivants :

i** Si deux sphères sont tangentes, leur point commun est sur la droite des centres et, réciproquement, si deux sphères ont un point commun sur la droite des centres, elles sont tangentes ;

2® Deux sphères tangentes ont même plan tangent en leur point de contact,

126. Aire de la sphère. — La circonférence étant la limite du périmètre d'un polygone régulier qui lui est inscrit, lorsque les côtés, croissant en nombre d'une manière continue, tendent indéfiniment vers zéro, on fait dériver la mesure de Taire de la sphère, qu'engendre la révolution d'une demi-circonférence autour du diamètre qui la limite, de celle de Taire

engendrée par une ligne polygonale régulière qui tourne autour d'un axe situé dans son plan et passant par son centre. De là la nécessité de savoir exprimer tout d'abord cette dernière mesure, qui repose à son tour sur celle de Taire engendrée par la rotation d'une droite autour d'un axe avec lequel elle est dans un môme plan . Les deux théorèmes suivants répondent à cet objet :

XII. Uaire engendrée par la révolution entière d'une portion de droite autour d'un axe avec lequel elle est dans un même plan, et qu'elle ne traverse pas^ a pour mesure le produit de la projection de cette portion de droite sur Vaxe par la circonférence d^ml le rayon est égal à la perpendiculaire menée à la droite en son milieu et limitée d'une part à son pied, de Vautre à son point de rencontre avec Caxe.

XIII. L'aire engendrée par la révolution entière d'une ligne polygonale régulière autour d'un axe situé dans son plan, extérieur à cette ligne 9 et passant par son c entre j a pour mesure le produit de la projection de cette ligne polygonale sur Vaxe par la circonférence inscrite dans cette même ligne.

Cela posé, on appelle zone de la sphère une portion de la surface sphérique comprise entre deux plans parallèles. Les deux cercles suivant lesquels ces deux plans coupent la sphère sont les deux bases de la zone et la distance de ces plans est sa hauteur. Si Tun des plans est tangent à la sphère, la zone n'a qu'une base : on lui donne le nom de calotte sphérique.

D'autre part : Vaire de la zone engendrée par la révolution entière d'un arc de cercle autour d'un de ses diamètres qu'il ne traverse pas est la limite vers laquelle tend Vaire engendrée par une ligne polygonale régulière inscrite dans cet arc de cercle^ lorsque les côtéSy croissant en nombre d'une manière continue^ tendent indéfiniment vers zéro.

Mais cette définition a besoin d'être justifiée, en montrant que la limite existe et qu'elle est unique, quelle que soit la loi d*après laquelle sont formés les côtés des lignes polygonales régulières successives.

A cet efTet, on considère une ligne polygonale régulière ins-

crile dans Tare de cercle ; on en fait croître indéfiniment le nombre des côtés par une loi quelconque et Ton constate que la projection de la ligne polygonale sur Taxe de rotation reste constante et égale à celle de l'arc et que le rayon de la circonférence inscrite tend vers une limite qui est le rayon de Tare considéré ; or comme à chaque instant Taire engendrée par la ligne polygonale régulière a pour mesure le produit de la projection de cette ligne sur Taxe par la circonférence qui lui est inscrite, on arrive à cette proposition :

XIV. L'aire d'une zone sphérique a pour mesure le produit de $a hauteur par la circonférence d*un grand cercle de la sphère à laquelle elle appartient.

De ce théorème on déduit les corollaires suivants :

i* Le rapport des aires de deux zones d'une même sphère est égal au rapport des hauteurs de ces zones;

2^ Deu^ zones d'une même sphère qui ont des hauteurs égales sont équivalentes.

On passe ensuite sans difficulté de ce théorème XIY au suivant, qui en est comme une conséquence :

XV. L'aire d'une sphère a pour mesure le produit de son diamètre par la circonférence d'un grand cercle.

De cette dernière proposition découlent les deux corollaires que voici :

1* L'aire d'une sphère est équivalente au quadruple de Vaire d'un grand cercle ;

2** Le rapport des aires de deux sphères est égal au rapport des carrés de leurs rayons.

127. Volume de la sphère. — Pour une raison analogue à celle que nous avons donnée à propos de la mesure de l'aire de la sphère, on fait dériver la mesure du volume de ce solide, qu'engendre la révolution d'un demi-cercle autour du diamètre qui le limite, de celle du volume engendré par un secteur polygonal régulier qui tourne autour d'un axe situé dans son plan et passant par son centre. De là la nécessité de savoir exprimer tout d'abord cette dernière mesure, qui repose à son tour sur celle du volume engendré par la rotation d'un trian-

gle autour d'un axe situé dans son plan et passant par un de ses sommets. Les deux théorèmes suivants répondent à cet objet :

XVÏ. Le volume engendrépar la révolution entière d'un triangbt autour d'un axe situé dans son plan, passant par un de sessommeti et ne le traversant pas, a pour mesure le produit de Vaire qu'engendre le côté opposé au sommet fixe par le tiers de la hauteur correspondante à ce côté.

XVII. Le volume engendré par la révolution entière d'un secteur i polygonal régulier autour d'un axe situé dans son plan^ extérieur à sa surface et passantpar son centre, a pour mesure te produit de l'aire qu'engendre sa ligne polygonale régulière par le tiers A,, son apothème.

Cela établi, si Ton considère deux secteurs polygonaux régu-i liers d'un même nombre de côtés, Tun inscrit et l*autre cir-i conscrit à un secteur circulaire, et que Ton mette en rotatioD! Tensemble de cette figure dans les conditions posées dans le' théorème précédent, on établit que le volume engendré pari la révolution entière d'un secteur circulaire autour d'uti diamètre extérieur a pour mesure le produit de Vaire de la zone qu'engendre Varc de cercle qui limite le secteur circulaire par le tiers du rayon de ce secteur. Ce volume est un secteur sphérique qui a pour base la zone correspondante.

On déduit de là :

XVIII. Le volume d'une sphère a pour mesure le produit de son aire par le tiers de son rayon.

Et de cette proposition découle le corollaire suivant : Le rapport des volumes de deux sphères est égal au rapport des cubes de leurs rayons.

On complète la théorie du volume de la sphère par l'expression du volume qu'engendre un segment de cercle dans sa rotation autour d'un diamètre extérieur à sa surface, et par celle du volume du segment sphérique, c'est-à-dire de la portion de sphère comprise entre deux plans parallèles. Les deux cercles qui limitent un segment sphérique en sont les bases, et leur distance, la hauteur. Si Tun des plans devient tangent à la

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sphère, le segment sphérique qui en résulte n'a qu'une base. Ces deux expressions font l'objet des deux théorèmes qui suivent :

XIX. Le volume engendré par la révolution entière d'un segment circulaire autour d'un diamètre extérieur à sa surface est équivalent au sixième du volume d'un cylindre ayant pour rayon de base la corde du segment et pour hauteur la projection de cette corde sur Vaxe de rotation,

XX. Le volume d'un segment sphérique est équivalent au volume d'une sphère dont le diamètre serait égal à la hauteur du segment^ augmenté de la demi-somme des volumes de deux cylindres ayant même hauteur que le segment sphérique et pour bases respectives les bases du segment,

§ V. -— Déplacement dans l'espace d'une figure

de forme invariable.

128. Définitions. — Déplacer dans Tespace une figure F de forme invariable, c'est obtenir, par un ensemble de points de Tespace, correspondant respectivement aux points de la figure F, une seconde figure F' avec laquelle la première transportée puisse coïncider.

Deux points, deux droites, deux plans ou deux angles qui se correspondent dans ces deux figures sont dits homologues.

Une figure quelconque de forme invariable peut être déplacée dans l'espace par translation ou par rotation.

129. Translation. — La translation dans l'espace est, comme en Géométrie plane, un déplacement dans lequel tous les points de la figure décrivent des droites parallèles entre elles, de même sens et de même longueur.

On démontre sur la translation dans l'espace les propositions suivantes déjà connues :

I. Le déplacement par translation ne déforme pas les figures,

II. Dans la translation toute droite de la figure se déplace parallèlement à elle-même.

III. Le déplacement d'une figure résultant de plusieurs translations est une tranjslation. Elle est dite la résultante des premières et celles-ci s'appellent à leur tour les composantes de la résultante.

La résultante de plusieurs translations d'un point d'une figure est encore la droite qui ferme le polygone décrit par ce point dans ses différentes translations, et cette résultante est indépendante de Tordre dans lequel on effectue ces translations.

En particulier, la résultante des trois translations OA, OB et 0C> non situées dans le même plan, est la diagonale OG du parallélépipède construit sur les trois droites OÂ, OB et OC.

430. Rotation. — La rotation dans l'espace est un déplacement dans lequel tous les points de la figure tournent autour d'une même droite fixe appelée axe de rotation et décrivent des arcs de cercle dont les plans sont parallèles entre eux ; de plus ces arcs sont de même sens et ont même mesure .

On démontre les propositions suivantes sur la rotation dans Tespace :