CHAPITRE IX

§ I. — Oénéralités sur les lignes courbes.

131. Lorsqu'une ligne courbe a tous ses points situés dans un môme plan, on dit qu'elle est plane ; dans le cas contraire, elle est dite gauche ou à double courbure.

Une ligne courbe plane est convexe lorsqu'elle ne peut être rencontrée par une ligne droite en plus de deux points. ^

On appelle axe d'une ligne. courbe toute droite par rapport à laquelle tous les points de la courbe sont deux à deux symétriques. Les points d'intersection d'une ligne courbe et de ses axes sont les sommets de cette courbe.

On donne le nom de centre^ dans une ligne courbe, au point par rapport auquel tous les points de la courbe sont deux à deux symétriques. Le centre d'une ligne courbe est un point commun à ses axes.

On dit qu'une droite est s^'can/e à une ligne courbe lorsqu'elle la rencontre au moins en deux points. Et Ton appelle tangente à une ligne courbe en un point déterminé, la position limite que prend une sécante qui passe par ce point, lorsqu'un second point d'intersection, dans la rotation de la sécante autour du premier, vient à se confondre avec ce premier. Le point déterminé est dit le point de contact de la courbe et de sa tangente. D'une manière générale, . on appelle tangente à une ligne courbe la position limite que prend une sécante lorsque par un déplacement quelconque elle amène deux de ses points d'intersection à se confondre en un seul. En définissant ainsi la tangente à une courbe^ on admet implicitement qu'une

sécante arrive toujours, dans le mouvement qu'on lui assigne, à occuper la position limite que détermine la réunion en un seul de deux de ses points d'intersection avec la courbe. Or ce fait n'est pas évident a priori^ ni pour toute espèce de courbes ni pour tous les points d'une môme courbe ; il est donc nécessaire dans toute étude de ligne courbe de fixer cette itnportante particularité : si la courbe^ en chacun de ses points, admet ou non une tangente.

Remarquons d'autre part qu'il serait inexact de définir la tangente à une courbe quelconque, comme celle du cercle : une droite qui n'a qu*un point commun avec la courbe. Cette définition convient aux seules courbes convexes, qu'une droite ne coupe jamais en plus de deux points. Toute courbe non convexe peut avoir plus de deux points communs avec une sécante et, par suite, lorsque deux de ces points viennent à se confondre, être encore rencontrée en d*autres points par la position limite de la sécante ou la tangente.

En menant en un point d'une courbe une perpendiculaire à la tangente en ce point, on obtient la normale à la courbe an même point. Ce point s'appelle le pied de la normale.

§11. ~ Ellipse.

132. Définitions. — L'ellipse est le lieu des points d'un plan tels que la somme des distances de chacun d'eux à deux points fixes du plan est égale à une longueur constante.

Les deux points fixes sont les foyers de l'ellipse, et les deux droites qui mesurent les distances aux foyers d'un point quelconque de la courbe sont les rayons vecteurs de ce point. La distance des deux foyers s'appelle distance focale.

Il résulte de la définition de l'ellipse que cette courbe est fermée de toutes parts.

133. Tracés de Tellipse. — Cette même définition fournit immédiatement deux procédés pour tracer l'ellipse.

1° Par un mouvement continu^ à l'aide d'un fil d'une longueur

égale à la somme constante de deux rayons vecteurs» fixé par ses extrémités aux deux foyers, et tendu constamment avec un crayon, que Ton déplace autour des foyers en en appuyant la pointe sur une feuille de papier ;

go pQy, points, en construisant les intersections d'une série de couples de cercles, chaque couple ayant pour centres les deux foyers et pour rayons deux longueurs variables dont la somme est égale à la somme constante de deux rayons vecteurs.

134. Propriétés de Tellipse. — Du procédé de tracé par points de Tellipse, on déduit d'abord la proposition suivante :

I . Uellipse a deux axes, qui sont la droite déterminée par les deux foyers et la perpendiculaire menée à cette droite par le milieu de la distance focale .

A son tour, cette proposition conduit aux deux conséquences :

i* L'ellipse a un centre, qui est le point dHntersection des deux axes ;

2° UelUpse a quatre sommets,

La portion de chaque axe comprise entre les deux sommets correspondants est ce qu'on appelle la longueur de Taxe. On démontre que les deux axes de Tellipse, envisagés à ce point de vue, sont inégaux, que le plus grand des deux, égal à la somme constante de deux rayons vecteurs d'un même point de la courbe, est celui qui contient les deux foyers : on lui donne pour cela le nom de grand axe^ et à l'autre, celui de petit axe.

En représentant la longueur du grand axe par 2a, celle du

petit axe par 26 et la distance focale par 2c, on a l'importante

relation

Comme une ellipse est déterminée par sa distance focale et la somme constante des deux rayons vecteurs d'un de ses points, autrement dit son grand axe, la relation précédente^ qui permet de calculer ou de construire l'une quelconque des trois quantités a, b, c connaissant les deux autres, autorise à

dire que la courbe est déterminée lorsqu'on connaît deux quelconques des trois longueurs, grand axe, petit axe ou distanise focale.

Il est à remarquer que la forme d'une ellipse s'arrondit on s'aplatit, en d'autres termes, se rapproche ou s*éloigne de celle du cercle, lorsque, le grand axe restant constant, la distance focale diminue ou augmente. Il en résulte qu'elle dépend essentiellement de la valeur du rapport de la distance focale au grand axe. Lorsque ce rapport, qu*on appelle Vexcentriciié de Tellipse, est très petit et tend vers zéro, qui est sa limite inférieure, Tellipse est très arrondie et tend à devenir un cercle; lorsqu'au contraire, Texcentricité parlant de zéro augmente indéfiniment et tend vers sa limite supérieure, l'unité, Tellipse va en s*aplatissant graduellement et tend à se réduire à une droite.