II. Uellipse est une courbe convexe

La démonstration de ce théorème repose sur la résolution du problème suivant :

Déterminer les points de rencontre d'une droite et d'une ellipse dont on donne le grand axe et les deux foyers.

Si Ton considère que chaque point de rencontre se trouve équidistant d'un foyer quelconque, du symétrique de ce foyer par rapport à la droite sécante, et d'un cercle ayant pour centre l'autre foyer et pour rayon le grand axe, on ramène le problème à cet autre :

Trouver le centre d'un cercle qui passe par deux points donnés et qui soit tangent à un cercle donné.

Or, on établit (316) que ce dernier problème admet au plus deux solutions, ce qui démontre qu'une droite ne peut rencontrer une ellipse en plus de deux points et par conséquent que la courbe est convexe.

Le cercle auquel nous venons de faire allusion dans le problème précédent, et qui est décrit de l'un des foyers de l'ellipse avec un rayon égal au grand axe, porte le nom de cercle directeur de l'ellipse. Il y a évidemment dans une ellipse

deux cercles directeurs, dont les centres sont les deux foyers de la courbe.

m. L'ellipse est le lieu des points équidistants de Van quelconque de ses foyers et du cercle directeur qui a i autre pour centre.

Ce que l'on peut encore énoncer, en remarquant que chaque foyer de Tellipse est à Tintérieur du cercle directeur qui a l'autre foyer pour centre :

Le lieu des points équidistants d'un cercle et d'un point fixe intérieur à ce cercle est une ellipse qui a pour foyers le centre du cercle et le point fixe^ et pour grand axe le rayon du cercle.

On tire de là un deuxième procédé pour construire Tellipse par points, moins simple que le premier, mais qui présente la particularité de donner à la fois, pour chaque construction de point, le point et la tangente à la courbe en ce point. A cet effet, après avoir décrit le cercle directeur relatif à Tun des foyers, pour obtenir un point de Tellipse à tracer, on mène un rayon quelconque de ce cercle, on en joint Tintersection avec la circonférence à Tautre foyer et Ton élève sur cette dernière droite et en son milieu la perpendiculaire dont Tintersection avec le rayon considéré donne le point cherché, et qui est elle-même la tangente à la courbe en ce point.

IV. L'ellipse détermine deux régions dans son plan y l'une intérieure et l'autre extérieure^ pour lesquelles la somme des distances d'un point aux deux foyers est respectivement inférieure où supérieure au grand axe de V ellipse.

Gomme les deux propositions que cet énoncé renferme sont contraires, la réciproque du théorème est vraie (^25, Vil).

En rapprochant théorème et réciproque de la définition de Tellipse, on est conduit à ce fait qu'un point est à l'intérieur d'une ellipse, sur l'ellipse ou à l'extérieur, suivant que la somme de ses distances aux deux foyers de la courbe est inférieure, égale ou supérieure au grand axe.

V. L'ellipse admet en chacun de ses points une tangente^ qui est tout entière en dehors de Vangle des deux rayons vecteurs du point de contact ^ et qui fait de chaque côté de ce point avec ces mêmes rayons vecteurs des angles égaux.

Il résulte immédiatement de ce th'éorème qu'en chacun de ses points Tellipse admet une normale.

On en déduit, en outre, les corollaires suivants :

i° Tous les points d*une tangente à V ellipse^ à l'exception du point de contact^ sont extérieurs à la courbe,

2** La normale en un point de r ellipse est bissectrice de Uangle des rayons vecteurs de ce point.

Cette propriété de la normale explique et justifie Tappellation de /b^ers appliquée aux deux points qu'elle désigne, parce que, d'après. une loi physique bien connue, tout rayon lumineux ou calorifique qui émanerait de l'un de ces points doit passer par l'autre point après avoir été réfléchi par la courbe.

S*» En chaque sommet de l'ellipse, la normale coïncide avec l'axe correspondant et la tangente est perpendiculaire à cet axe.

De ce troisième corollaire il résulte que si Ton mène les tangentes aux quatre sommets de Tellipse on a un rectangle construit sur les deux axes de la courbe, dans lequel l'ellipse est inscrite.

VI. Dans l'ellipse y le lieu des projections des foyers sur les tangentes à la courbe est le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre.

Ce lieu s'appelle le cercle principal de l'ellipse.

Les deux propositions suivantes sont des corollaires de ce théorème :

i^ Le produit des distances des deux foyers de V ellipse à une même tangente est constant et égal au cairé du demi-petit axe.

2<* Le produit des distances d'un foyer de l'ellipse à deux tangentes parallèles est constant et égal aussi au carré du demi-petit axe,

La résolution du problème relatif à la construction de la tangente à l'ellipse, que nous étudierons plus loin (332)^ montre que lorsque la tangente est assujettie à passer par un point extérieur à la courbe, la question admet deUx solutions. Ces deux tangentes jouissent de propriétés importantes qui font l'objet du théorème suivant : ,