VII. Dans l'ellipse

!•* les tangentes menées à la courbe par un point extérieur font des angles égaux avec les droites qui vont de ce point aux deux foyers ;

2*> la droite qui joint Vun des foyers au point extérieur d'où sont issues les tangentes^ est bissectrice de l'angle des rayons vecteurs menés de ce même foyer aux deux points de contact des tangentes.

VIII . La projection orthogonale d'un cercle sur un plan oblique au sien est une ellipse.

Si Ton fait varier Tangle du plan du cercle et du plan de projection, Tellipse varie de forme tout en conservant le même grand axe. Lorsque l'angle diminue et tend vers zéro, le petit axe de Tellipse augmente et tend à devenir égal au grand axe ; la courbe, de son côté, se rapproche indéfiniment du cercle* Lorsque, au contraire» Tangle augmente et tend vers 90<», le petit axe diminue et tend vers zéro, et la courbe se rapproche indéfiniment de la ligne droite.

En supposant les deux plans rabattus Tun sur Tautre, de manière que le grand axe de l'ellipse coïncide avec un diamètre du cercle — ce qui revient à une ellipse et son cercle principal — et si Ton considèredeux points situés l'un sur le cercle^Tautre sur Tellipse, de manière qu'ils aient même projection sur le grand axe de Tellipse, les deux projetantes sont dites les ordonnées respectives des deux points correspondants du cercle et de Tellipse.

Sur ces ordonnées de deux points correspondants des deux courbes, on a les corollaires suivants que l'on déduit du précédent théorème :

i® Les ordonnées perpendiculaires au grand axe d'une ellipse j de deux points correspondants de cette ellipse et de son cercle principal, sont dans un rapport constant et égal au rapport du petit au grand axe de V ellipse.

Cette proposition fournit un troisième procédé de construction par points de Tellipse. Pour cela, on décrit un cercle sur chacun des axes de Tellipse pris successivement comme dia-

mètres, et Von obtient un point de la courbe en procédant ainsi : on trace un rayon quelconque du grand cercle, qui rencontre nécessairement le petit ; de son intersection avec le premier cercle on mène une parallèle au petit axe de Tellipse, et de. son intersection avec le second on mène une parallèle an grand axe : la rencontre de ces deux parallèles donne le point de Tellipse correspondant au rayon envisagé.

Il est à remarquer qn^on établit aussi, pour les ordonnée*^ perpendiculaires au petit axe de l'ellipse, de deux points correspondants de cette ellipse el du cercle décrit sur le petit axe comme diamètre, qu*elles sont dans un rapport constant égal au rapport du grand au petit axe de Tellipse.

De ce qui précède il résulte que Tellipse peut être considérée comme obtenue par la réduction ou l'agrandissement dans un rapport déterminé des ordonnées, perpendiculaires à un même diamètre, des différents points d'un cercle.

2® Les tangentes à l'ellipse et à son cercle piincipal^ en deux points respectifs qui ont même projection sur le grand axe df* l^ellipse, rencontrent cet axe au même point.

On démontre aussi que les tangentes à Tellipse et au cercle décrit sur son petit axe pour diamètre, en deux points respec* tifs qui ont même projection sur le petit axe de lellipse» rencontrent le petit axe au même point.

IX. La ligne décrite par un point quelconque d'une droite dont deux points fixes sont assujettis à glisser sur deux droites rectangulaires est une ellipse.

Cette proposition fournit un quatrième procédé de tracé par points de l'ellipse.

§ III. ■— Hsrperbole .

135. Définitions. — L'hyperbole est le lieu des points d'un plan tels que la différence des distances de chacun d'eux à deux points fixes du plan est égale à une longueur constante.

Les deux points fixes sont les foyers de l'hyperbole et les deux droites qui mesurent les distances aux foyers d*un point

quelconque de la courbe sont les rayons vecteurs de ce point. La distance des deux foyers s'appelle distance focale.

Il résulte de la définition de Thyperbole que cette courbe est ouverte et indéfinie.

136. Tracés de l'hyperbole. — Cette même définition fournit immédiatement deux procédés pour tracer l'hyperbole.

1^ Par un mouvement continu, à Taide d'un fil attaché par Tune de ses extrémités à Tun des bouts d'une règle qui surpasse la longueur du fil d'une quantité égale à ce que nous appelons plus Toinla longueur de Taxe trans verse; on fixe les extrémités libres de la règle et du fil aux deux foyers de Thyperbole à tracer et Ton promène le long du fil constamment tendu, en l'appliquant sans cesse contre la règle, qui tourne autour de son foyer, un crayon dont la pointe s'appuie sur une feuille de papier : on obtient ainsi un arcde l'hyperbole. Si l'on intervertit les positions des extrémités libres de la règle et du fil, en recommençant Topération précédente on obtient un second arc de l'hyperbole; 2o Par points^ en construisant les intersections d'une série de couples de cercles, chaque couple ayant pour centres les deux foyers^ et pour rayons deux longueurs dont la différence ^ est égale à la différence constante de deux rayons vecteurs.

137. Propriétés de l'hyperbole. — Il ressort de ce qui précède que l'hyperbole est une courbe à deux branches infinies qui n'ont aucun point commun.

On déduit en outre, du procédé de tracé par points de l'hyperbole, la proposition suivante :

I. L'hyperbole a deux axes, qui sont la droite déterminée par les deux foyers et la perpendiculaire menée à cette droite par le ^ milieu de la distance focale ,

Le premier de ces axes, qui rencontre la courbe en deux points, est appelé pour cette raison axe tranverse ; le second, qui ne la rencontre pas, reçoit pour cela le nom d'axe non transverse.

Deux conséquences découlent du théorème et des explications qui précèdent :

DAUZAT. — MÂTHODOL. 51

i** L'hyperbole a un centre^ qui est le point d'intersection ia deux axes ;

li^^ L'hyperbole a deux sommets.

On démontre que la longueur de Taxe transverse, limité de part et d'autre à la courbe, est égale à la différence constante des deux rayons vecteurs d'un même point.

En représentant cette longueur par 2a et la distance focale par 2c, on convient de représenter la longueur de Taxe non transverse par la quantité 26, de manière que Ton ait

Comme une hyperbole est déterminée par sa distance focale et la différence constante des deux rayons vecteurs d*un de ses points, autrement dit, de son axe transverse, la relation précédente, qui permet de calculer ou de construire Tune quelconque des trois quantités a, 6, c, connaissant les deux autres, autorise à dire que la courbe est déterminée lorsqa'oa connaît deux quelconques des trois longueurs, axe transverse, axe non transverse, ou distance focale.

Il est à remarquer que la forme d'une hyperbole dont Taxe transverse reste constant est subordonnée aux variations de it distance focale ; il résulte de là que cette forme dépend essentiellement de la valeur du rapport de la distance focale à Taxe transverse. Lorsque ce rapport, qu'on appelle Y excentricité de l'hyperbole, et qui est toujours supérieur à l'unité, diminue et tend vers sa limite inférieure, les deux branches de ^hype^ bole s'aplatissent et tendent à se réduire aux deux portions de la droite des foyers que sépare la distance focale ; lorsqu'au contraire l'excentricité partant de l'unité augmente indéfiniment et tend vers l'infini, les deux branches de l'hyperbole s'ouvrent de plus en plus et tendent à se confondre avec la perpendiculaire menée à l'axe transverse par son milieu.