II. L'hyperbole est une courbe convexe

Ce théorème se démontre par un procédé semblable à celui qui sert pour établir le théorème correspondant relatif à l'ellipse.

Comme l'ellipse, l'hyperbole a deux cercles directeurs, qui

ont pour centres les foyers de la courbe et pour rayon commun la longueur de Taxe transverse.

III. U hyperbole est le lieu des points équidistants de Fun quelconque de ses foyers et du cercle directeur qui a l'autre pour centre.

Ce que l'on peut encore énoncer, en remarquant que chaque foyer de l'hyperbole est à Textérieur du cercle directeur qui a l'autre foyer pour centre :

Le lieu des points équidistants d'un cercle et d'un point fixe extérieur à ce cercle est une hyperbole qui a pour foyers le centre du cercle et le point fixe, et pour axe transverse le rayon du cercle.

On tire de là un deuxième procédé pour construire l'hyperbole par points, moins simple que le premier, mais qui présente la particularité de donner à la fois, pour chaque construction de point, le point et la tangente à la courbe eii ce point. Il est identique au procédé correspondant pour le tracé de l'ellipse.

IV. Vhyperbole détermine deux régions dans son plan, Vune intérieure^ foiynée des deux parties comprises dans les deux branches de la courbe , Vautre extérieure, située entre les deux branches^ pour lesquelles la différence des distances d*un point aux deux foyers est respectivement supérieure ou inférieure à Vaxe transverse de l'hyperbole.

Comme les deux propositions que cet énoncé renferme sont contraires, la réciproque du théorème est vraie (25, VII).

En rapprochant théorème et réciproque de la définition de Thyperbole, on est conduit au fait qu'un point est à Tintérieur d'une hyperbole, sur l'hyperbole ou à l'extérieur, suivant que la différence de ses distances aux deux foyers de la courbe est supérieure, égale ou inférieure à Taxe transverse.

V. Vhyperbole admet en chacun de ses points une tangente^ qui est bissectrice de F angle des deux rayons vecteurs du point de contact.

Il résulte immédiatement de ce théorème qu'en chacun de ses points l'hyperbole admet une normale. On en déduit, en outre, les corollaires suivants :

i® Tou$ les points d'une tangente à V hyperbole, à V exception du point de contact, sont extérieurs à la courbe ;

2** La normale en un point de l'hyperbole est bissectrice de Vangle formé pckr un des rayons vecteurs de ce point et le prolongement de Pautre rayon.

Od trouve dans cette propriété de la normale Texplication et la jastification da terme foyer appliqué à chacun des points quMl désigne, parce que, d*après une loi physique déjà rappelée, tout rayon lumineux ou calorifique qui émanerait de Tun de ces points semblerait provenir de l'autre après avoir été réfléchi par la courbe.

3* En chaque sommet de l'hyperbole, la normale coïncide avec l'axe transverse et la tangente est perpendiculaire à cet axe.

De ce troisième corollaire^ il résulte que si l'on mène les tangentes aux deux sommets de l'hyperbole et que par les extrémités de Tare non transverse on mène des parallèles à Tautre axe, on forme un rectangle auquel on donne le nom de rectangle des axes.

4<> Une hyperbole et une ellipse qui ont les mêmes foyers, et qu'on dit alors homofocales, se coupent à angle droit.

VI. Dans l'hyperbole, le lieu des projections des foyers sur les tangentes à la courbe est le cercle décrit sur l'axe transverse comme diamètre.

Ce lieu s'appelle le cercle principal de Thyperbole.

Les deux propositions suivantes sont des corollaires de ce théorème :

1® Le produit des distances des deux foyers de Vhyperbolc à une même tangente est constant et égal au can^é du demi-axe non transverse;

2° Le. produit des distances d'un foyer de l'hyperbole à deux tangentes parallèles est constant et égal aussi au carré du demiaxe non transverse.

La résolution du problème relatif à la construction de la tangente à Thyperbole, que nous étudierons plus loin, montre que lorsque la tangente est assujettie à passer par ua point extérieur à la courbe, la question admet deux solutions.

Ces deux tangentes jouissent de propriétés importantes qui font Tobjet du théorème suivant :