VII. Dans V hyperbole

!• les tangentes menées à la courbe par xm point extérieur font des angles égaux avec les droites qui vont de ce point aux deux foyers ;

2** la droite qui joint tun des foyers au point extéi^eur d'où sont issues les tangentes est bissectrice de l'angle intéi'ieur ou de Vangle extérieur des rayons vecteurs menés de ce même foyer aux deux points de contact des tangentes^ suivant que ces points de • contact sont sur une même branche ou sur deux branches différentes de l'hyperbole.

138. Asymptotes. — Lorsqu'une droite située dans le voisinage d'une branche infinie de courbe est telle que la distance d'un point quelconque de la courbe à la droite tend vers zéro lorsque le point s'éloigne à Tinfini sur la courbe, on dit que la droite est asymptote de la branche infinie.

VIIÏ. L'hyperbole a deux asrjmptotes, qui sont les deux perpendiculaires menées par le centre de la courbe aux deux tangentes menées de l'un des foyers au cercle directeur qui a Vautre foyer pour centre.

Chacune de ces perpendiculaires est asymptote à deux demi-branches appartenant respectivement aux deux arcs distincts de la courbe.

Les corollaires suivants se déduisent du théorème qui précède :

1^ L'asymptote à une demi-branche quelconque de l'hyperbole est la limite vers laquelle tend la tangente à cette demi-branche en un de ses points^ lorsque ce point s'éloigne à l'infini ;

^ Les deux asymptotes de l'hyperbole coïncident avec les diagonales du rectangle des axes de la courbe ;

3* Toute parallèle à l'une des asymptotes ne rencontre Vhyperbole qu'en un point.

139. Hyperbole équilatère. — Une hyperbole dont les deux axes sont égaux est dite équilatère.

Il résulte de là et du second des corollaires prôcédeots que les asymptotes de l'hyperbole équilatère sont perpendiculaires Tune à l'autre .

140. Hyperboles conjugaôes. — Deux hyperboles qui ont le môme centre et les mômes axes, mais dans lesquelles Taxe transverse de Tune est Taxe non transverse de l'autre, et vice versa, sont dites conjuguées.

De cette définition et du second des corollaires précédents il résulte que deux hyperboles conjuguées ont les mômes droites pour asymptotes.

§ IV. — Parabole.

141. Définitions. — La parabole est le lieu des points d'un plan tels que chacun d'eux est équidistant d*un point et d'une droite fixes du plan.

Le point fixe est le foyer de la parabole et la droite fixe en est \^ directrice, La droite qui mesure la distance d'un point quelconque de la courbe au foyer est le rayon vecteur de ce point. La distance du foyer à la directrice s'appelle paramètre.

Il ressort de cette définition de la parabole que cette courbe est ouverte et indéfinie.

142. Tracé de la parabole. — Cette môme définition fournit immédiatement deux procédés pour tracer la parabole.

\^ Par un mouvement continu^ à Taide d'un fil attaché par l'une de ses extrémités au sommet de l'un des angles aigus d'une équerre, ce fil ayant pour longueur celle du côté de l'angle droit de l'équerre correspondant à ce sommet, on fixe l'autre extrémité du fil au foyer de la parabole et l'on dispose l'équerre sur le plan de la courbe de manière que le côté opposé au sommet d'attache du fil s'appuie sur une règle, placée le long de la directrice ; on fait ensuite glisser l'équerre le long de la règle en appliquant sans cesse le fil contre le côté qui lui est égal au moyen d'un crayon dont la pointe s'appuie sur une feuille de papier : on obtient ainsi un arc de parabole ;

2^ Par pointsy en construisant les intersections d*une série de couples de lignes telles que chaque couple comprenne une droite parallèle à la directrice et un cercle seyant pour centre le foyer de la courbe, la droite étant distante de la directrice d'une longueur égale au rayon du cercle.

i43. Propriétés de la parabole. — Ces tracés montrent que la parabole se compose d'une seule branche, qui s'étend indéfiniment de part et d'autre, et qui est située tout entière, par rapport à la directrice, du côté où se trouve le foyer.

On déduit en outre du procédé de tracé par points de la parabole la proposition suivante :

I. La parabole a un axe qui est la perpendiculaire menée du foyer à la directrice.

Le corollaire qui suit découle de ce théorème :

Lii parabole a un sommet qui est le milieu de la' distance paramétrique.

De ce qui précède il ressort qu'une parabole est déterminée par son paramètre .

If. La parabole est une courbe convexe.

La démonstration de ce théorème repose sur la résolution du problème suivant :

Déte^^miner les points de rencontre d'une droite et d'une parabole dont on donne le foyer et la directrice.

Si Ton considère que chaque point de rencontre se trouve équidistant du foyer, de son symétrique par rapport à la droite sécante, et de la directrice, on ramène le problème à cet autre :

Trouver le centre d'un cercle qui passe par deux points donnés et qui soit tangent à une droite donnée.

Or on établit que ce dernier problème (314) admet au plus deux solutions, ce qui démontre qu'une droite ne peut rencontrer une parabole en plus de deux points et par conséquent que la courbe est convexe.

Il est à remarquer que la directrice de la parabole représente le cercle directeur de Tellipse et de Thyperbole.

Il s'ensuit qu'on peut indiquer ici un deuxième procédé pour construire la parabole par points, analogue à celui dont il a

été question pour Tellipse et l'hyperbole. Il est moins simple que le premier, mais il présente la particularité de donner à la fois, pour chaque recherche de point, le point et la tangente à la courbe en ce point. A cet effet, pour obtenir un point de la parabole à construire, on mène par le foyer une droite quelconque qui rencontre la directrice ; par ce point d'intersection on trace une parallèle à Taxe de la courbe^ puis sur la portion de la première droite comprise entre le foyer et la directrice, on élève en son milieu la perpendiculaire, dont la rencontre avec la parallèle à Taxe donne le point cherché, et qui est ellemême la tangente à la courbe en ce point.

Une autre remarque à faire sur ce problème de Tintersection d'une droite et d'une parabole, c*est que dans le cas où la droite est parallèle à l'axe de la courbe elle ne peut pas avoir deux points équidistants du foyer et de la directrice de cette courbe, et il s'ensuit cette vérité :

Toute parallèle à l'axe d'une parabole ne rencontre la courbe qu'en un point.

De là un argument de plus à l'appui du fait déjà établi que ce serait une erreur de définir la tangente à une courbe : une droite qui n'a qu'un point commun avec cette courbe.

lil. La parabole détermine deux régions dans son plan, Vune intérieure et Vautre extérieure^ pour lesquelles la distance d'un point au foyer est respectivement inférieure ou supérieure à sa distance à la directtnce.

Comme les deux propositions que cet énoncé renferme sont contraires^ la réciproque du théorème est vraie (25, VII).

En rapprochant théorème et réciproque de la définition delà parabole, on est conduit à ce fait qu'un point est à l'intériear d'une parabole, sur la parabole ou à l'extérieur, suivant que sa distance au foyer est inférieure, égale ou supérieure à sa distance à la directrice.

IV. La parabole admet en chacun de ses points une tangente, qui est bissectrice de Vangle formé par le rayon vecteur du point de contact et la parallèle à Vaxe menée par ce même point à l'extérieur de la courbe.

Il résulte immédialement de ce théorème qu'en chacun de ses points la parabole admet une normale. On en déduit en outre les corollaires suivants :

!• Tous les points d^une tangente à la parabole, à l'exception du point de contact, sont extérieurs à la courbe;

2** La tangente en un point de la parabole est perpendiculaire au milieu de la droite qui joint le foyer de la courbe au pied de la perpendiculaire menée du point de contact à la directrice ;

3* La normale en un point de la parabole est bissectrice de l'angle formé par le rayon vecteur du point de contact et la parallèle à l'axe menée par ce même point à l'intérieur de la courbe.

Cette propriété de la normale explique et justifie l'appellation de foyer appliquée au point qu'elle désigne, parce que, d'après ii.ie loi physique déjà rappelée deux fois, tout rayon lumineux ou calorifique qui émanerait de ce point irait passer par un point situé à Tinfini sur Taxe de la parabole, après avoir été réfléchi par la courbe, ce qui revient à dire qu'il deviendrait parallèle à l'axe ; et réciproquement, tout rayon lumineux ou calorifique partant d'un point situé à Tinfini sur Taxe, autrement dit parallèle à Taxe, irait passer par le point appelé foyer après avoir subi la réflexion sur la courbe.

Â^ Au sommet de la parabole la normale coïncide avec l'axe et la tangente est perpendiculaire à cet axe ;

5® Si Von mène à la parabole et en un même point une tangente et une normale, le foyer de la courbe est équidistant de ce point et des intersections avec l'axe de cette tangente et de cette normale.

Sous-tangente et sous-normale. — Dans la parabole, on donne le nom de sous-tangente en un point de la courbe à la projection sur Taxe de la portion de tangente menée en ce point comprise entre le point de contact et sa rencontre avec Taxe. Et Ton appelle sous-normale en un point la projection sur Taxe de la portion de normale menée en ce point comprise < ntre son pied et sa rencontre avec Taxe.

6® La sous-tangente^ dans la parabole^ est divisée en deux parties égales par le sommet de la courbe ;

7» La sous-normale^ dans la parabole, est constante et égale au paramètre ;

8** Les carrés des ordonnées de la parabole perpendiculaires à Vaxe sont proportionnels aux distances des pieds de ces ordonnées au sommet de la courbe.

V. Dans la parabole^ le lieu des projections du foyer sur Us tangentes à la courbe est la tangente au sommet de la paraéoU.

Il est à remarquer que cette tangente au sommet de la parabole représente le cercle principal de Tellipse et de l'hyperbole.

Le, problème relatif à la construction de la tangente à la parabole, que nous indiquons plus loin (332, Rem. III) dans le cas où la tangente est assujettie à passer par un point extérieur à la courbe, admet deux solutions. Ces deux tangentes jouissent de propriétés importantes qui font l'objet du théorème suivant :